PrethodniSledeći
4506.

929.b

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935):

cos⁡α1−cos⁡α−cos⁡α1+cos⁡α=2ctg2α\frac{\cos \alpha}{1 - \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = 2 \text{ctg}^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Svodićemo razlomke na zajednički imenilac, koji je (1−cos⁡α)(1+cos⁡α). (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) .

cos⁡α(1+cos⁡α)−cos⁡α(1−cos⁡α)(1−cos⁡α)(1+cos⁡α)\frac{\cos \alpha(1 + \cos \alpha) - \cos \alpha(1 - \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}

Sređujemo brojilac množenjem, a u imeniocu primenjujemo formulu za razliku kvadrata.

cos⁡α+cos⁡2α−(cos⁡α−cos⁡2α)1−cos⁡2α\frac{\cos \alpha + \cos^2 \alpha - (\cos \alpha - \cos^2 \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha}

Oslobađamo se zagrade u brojiocu.

cos⁡α+cos⁡2α−cos⁡α+cos⁡2α1−cos⁡2α\frac{\cos \alpha + \cos^2 \alpha - \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha}

U brojiocu se potiru cos⁡α \cos \alpha i −cos⁡α, -\cos \alpha , pa ostaje 2cos⁡2α. 2\cos^2 \alpha . U imeniocu primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle sledi da je 1−cos⁡2α=sin⁡2α. 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha .

2cos⁡2αsin⁡2α\frac{2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Zapisujemo dobijeni izraz izdvajanjem konstante ispred razlomka.

2(cos⁡αsin⁡α)22 \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^2

Koristimo definiciju kotangensa ctgα=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

2ctg2α2 \text{ctg}^2 \alpha

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

cos⁡α1−cos⁡α−cos⁡α1+cos⁡α=2ctg2α\frac{\cos \alpha}{1 - \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = 2 \text{ctg}^2 \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak