PrethodniSledeći
4496.

929.v

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935):

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+sin⁡x+cos⁡x1−tg2x=sin⁡x+cos⁡x(sin⁡x≠cos⁡x)\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 - \text{tg}^2 x} = \sin x + \cos x \quad (\sin x \neq \cos x)
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+sin⁡x+cos⁡x1−tg2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 - \text{tg}^2 x}

Koristimo osnovnu trigonometrijsku relaciju tgx=sin⁡xcos⁡x \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} i zamenjujemo u izraz:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+sin⁡x+cos⁡x1−sin⁡2xcos⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}

Svodimo izraz u imeniocu drugog razlomka na zajednički imenilac:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+sin⁡x+cos⁡xcos⁡2x−sin⁡2xcos⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}

Sređujemo dvojni razlomak:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+(sin⁡x+cos⁡x)cos⁡2xcos⁡2x−sin⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) na imenilac drugog razlomka:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+(sin⁡x+cos⁡x)cos⁡2x(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{(\sin x + \cos x) \cos^2 x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡x+cos⁡x: \sin x + \cos x :

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x+cos⁡2xcos⁡x−sin⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x}

Izvlačimo minus ispred drugog razlomka kako bismo izjednačili imenioce:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada kada imamo isti imenilac, oduzimamo razlomke:

sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo formulu za razliku kvadrata, ovog puta na brojilac:

(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x−cos⁡x\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x}

Kako je po uslovu zadatka sin⁡x≠cos⁡x, \sin x \neq \cos x , odnosno sin⁡x−cos⁡x≠0, \sin x - \cos x \neq 0 , možemo skratiti razlomak sa sin⁡x−cos⁡x: \sin x - \cos x :

sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednakosti, čime je identitet dokazan.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak