PrethodniSledeći
4515.

930

TEKST ZADATKA

Dokaži sledeći trigonometrijski identitet:

sin⁡3x−cos⁡3x1+sin⁡xcos⁡x=sin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{1 + \sin x \cos x} = \sin x - \cos x
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti.

sin⁡3x−cos⁡3x1+sin⁡xcos⁡x\frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{1 + \sin x \cos x}

Primenjujemo formulu za razliku kubova na brojilac: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2). a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .

sin⁡3x−cos⁡3x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡2x+sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 da bismo uprostili drugu zagradu.

(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡2x+cos⁡2x⏟1+sin⁡xcos⁡x)=(sin⁡x−cos⁡x)(1+sin⁡xcos⁡x)(\sin x - \cos x)(\underbrace{\sin^2 x + \cos^2 x}_{1} + \sin x \cos x) = (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u brojilac početnog razlomka.

(sin⁡x−cos⁡x)(1+sin⁡xcos⁡x)1+sin⁡xcos⁡x\frac{(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)}{1 + \sin x \cos x}

Skraćujemo razlomak sa izrazom 1+sin⁡xcos⁡x. 1 + \sin x \cos x .

sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x

Dobili smo izraz sa desne strane, čime je identitet dokazan.

sin⁡x−cos⁡x=sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x = \sin x - \cos x

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak