PrethodniSledeći
4502.

924

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet (podrazumeva se da se izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju): tg α+1cos⁡3α−1sec⁡α−tg α=sin⁡2αcos⁡3α \text{tg } \alpha + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1}{\sec \alpha - \text{tg } \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^3 \alpha}

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

tg α+1cos⁡3α−1sec⁡α−tg α\text{tg } \alpha + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1}{\sec \alpha - \text{tg } \alpha}

Primenjujemo definicije trigonometrijskih funkcija sec⁡α=1cos⁡α \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} i tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} na treći sabirak:

1sec⁡α−tg α=11cos⁡α−sin⁡αcos⁡α\frac{1}{\sec \alpha - \text{tg } \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}

Sređujemo imenilac i uprošćavamo dvojni razlomak:

11−sin⁡αcos⁡α=cos⁡α1−sin⁡α\frac{1}{\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}

Množimo brojilac i imenilac dobijenog razlomka sa 1+sin⁡α 1 + \sin \alpha kako bismo iskoristili razliku kvadrata:

cos⁡α(1+sin⁡α)(1−sin⁡α)(1+sin⁡α)=cos⁡α(1+sin⁡α)1−sin⁡2α\frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odnosno 1−sin⁡2α=cos⁡2α: 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha :

cos⁡α(1+sin⁡α)cos⁡2α\frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡α: \cos \alpha :

1+sin⁡αcos⁡α\frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo tg α \text{tg } \alpha sa sin⁡αcos⁡α, \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , kao i transformisani treći sabirak:

sin⁡αcos⁡α+1cos⁡3α−1+sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha} - \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}

Grupišemo prvi i treći sabirak koji imaju isti imenilac:

sin⁡α−(1+sin⁡α)cos⁡α+1cos⁡3α=sin⁡α−1−sin⁡αcos⁡α+1cos⁡3α\frac{\sin \alpha - (1 + \sin \alpha)}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha} = \frac{\sin \alpha - 1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha}

Sređujemo brojilac prvog razlomka:

−1cos⁡α+1cos⁡3α\frac{-1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac cos⁡3α: \cos^3 \alpha :

−cos⁡2α+1cos⁡3α=1−cos⁡2αcos⁡3α\frac{-\cos^2 \alpha + 1}{\cos^3 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^3 \alpha}

Ponovo koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1−cos⁡2α=sin⁡2α: 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha :

sin⁡2αcos⁡3α\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^3 \alpha}

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak