PrethodniSledeći
4498.

922

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935):

2sin⁡αcos⁡αctg α−sin⁡αcos⁡α=2tg2α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\text{ctg } \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2 \text{tg}^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo izraziti kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovnu relaciju ctg α=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

2sin⁡αcos⁡αcos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha}

U imeniocu možemo izvući cos⁡α \cos \alpha ispred zagrade kao zajednički činilac.

2sin⁡αcos⁡αcos⁡α(1sin⁡α−sin⁡α)\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right)}

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac.

2sin⁡αcos⁡αcos⁡α(1−sin⁡2αsin⁡α)\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \left( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} \right)}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle sledi da je 1−sin⁡2α=cos⁡2α. 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .

2sin⁡αcos⁡αcos⁡α⋅cos⁡2αsin⁡α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}}

Množimo izraze u imeniocu.

2sin⁡αcos⁡αcos⁡3αsin⁡α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}}

Rešavamo dvojni razlomak tako što množimo spoljašnje i unutrašnje članove.

2sin⁡αcos⁡α⋅sin⁡αcos⁡3α=2sin⁡2αcos⁡αcos⁡3α\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡α. \cos \alpha .

2sin⁡2αcos⁡2α\frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}

Zapisujemo dobijeni izraz preko tangensa, koristeći relaciju tg α=sin⁡αcos⁡α. \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

2(sin⁡αcos⁡α)2=2tg2α2 \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 2 \text{tg}^2 \alpha

Dobili smo izraz koji se nalazi na desnoj strani jednakosti, čime je identitet dokazan.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak