PrethodniSledeći
4499.

921

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju):

sin⁡3α(1+ctg α)+cos⁡3α(1+tg α)=sin⁡α+cos⁡α\sin^3 \alpha(1 + \text{ctg } \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg } \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta i primenjujemo osnovne trigonometrijske relacije ctg α=cos⁡αsin⁡α \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} i tg α=sin⁡αcos⁡α. \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

sin⁡3α(1+cos⁡αsin⁡α)+cos⁡3α(1+sin⁡αcos⁡α)\sin^3 \alpha \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Množimo članove u zagradama sa sin⁡3α \sin^3 \alpha i cos⁡3α. \cos^3 \alpha .

sin⁡3α+sin⁡3α⋅cos⁡αsin⁡α+cos⁡3α+cos⁡3α⋅sin⁡αcos⁡α\sin^3 \alpha + \sin^3 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \cos^3 \alpha + \cos^3 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Skraćujemo razlomke.

sin⁡3α+sin⁡2αcos⁡α+cos⁡3α+cos⁡2αsin⁡α\sin^3 \alpha + \sin^2 \alpha \cos \alpha + \cos^3 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha

Iz prva dva člana izdvajamo zajednički faktor sin⁡2α, \sin^2 \alpha , a iz preostala dva člana izdvajamo cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

sin⁡2α(sin⁡α+cos⁡α)+cos⁡2α(cos⁡α+sin⁡α)\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)

Izdvajamo zajedničku zagradu (sin⁡α+cos⁡α). (\sin \alpha + \cos \alpha) .

(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α+cos⁡2α)(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

(sin⁡α+cos⁡α)⋅1(\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot 1

Dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

sin⁡α+cos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak