PrethodniSledeći
4508.

923

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935): sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2x(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡2x−cos⁡2x=sin⁡x+cos⁡x(x≠45∘). \frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x - \cos^2 x} = \sin x + \cos x \quad (x \neq 45^\circ) .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2x(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡2x−cos⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x - \cos^2 x}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na imenilac drugog razlomka:

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2x(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x(\sin x + \cos x)}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}

Skraćujemo drugi razlomak sa sin⁡x+cos⁡x: \sin x + \cos x :

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Sada imamo razlomke sa istim imeniocem, pa ih možemo oduzeti:

sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x−cos⁡x\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x - \cos x}

Ponovo primenjujemo formulu za razliku kvadrata, ovog puta na brojilac:

(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x−cos⁡x\frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡x−cos⁡x \sin x - \cos x i dobijamo desnu stranu identiteta:

sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x

Time je identitet dokazan.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak