PrethodniSledeći
4505.

920

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (podrazumeva se da se, ako drugačije nije rečeno, izrazi posmatraju za one vrednosti promenljive za koje su definisane sve trigonometrijske funkcije koje se u tim izrazima pojavljuju) (zadaci 917-935):

3(sin⁡4α+cos⁡4α)−2(sin⁡6α+cos⁡6α)=13(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) = 1
REŠENJE ZADATKA

Posmatramo levu stranu identiteta:

3(sin⁡4α+cos⁡4α)−2(sin⁡6α+cos⁡6α)3(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 2(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha)

Transformišemo izraz sin⁡4α+cos⁡4α \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha koristeći formulu za kvadrat binoma i osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :

sin⁡4α+cos⁡4α=(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α=12−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Zatim transformišemo izraz sin⁡6α+cos⁡6α \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha koristeći formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2): a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) :

sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α)3+(cos⁡2α)3=(sin⁡2α+cos⁡2α)(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)

Pošto je sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , izraz se pojednostavljuje:

sin⁡6α+cos⁡6α=1⋅(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)=sin⁡4α+cos⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 \cdot (\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Koristeći prethodno dobijeni rezultat za sin⁡4α+cos⁡4α, \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha , dobijamo:

sin⁡6α+cos⁡6α=(1−2sin⁡2αcos⁡2α)−sin⁡2αcos⁡2α=1−3sin⁡2αcos⁡2α\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Zamenjujemo dobijene izraze u početni izraz za levu stranu:

3(1−2sin⁡2αcos⁡2α)−2(1−3sin⁡2αcos⁡2α)3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)

Množimo i oslobađamo se zagrada:

3−6sin⁡2αcos⁡2α−2+6sin⁡2αcos⁡2α3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

Skraćujemo suprotne članove i računamo konačan rezultat:

3−2=13 - 2 = 1

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

1=11 = 1

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak