PrethodniSledeći
4511.

935

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći trigonometrijski identitet:

sin⁡4α−cos⁡4αsin⁡2α−cos⁡2α−sin⁡3α+cos⁡3αsin⁡α+cos⁡α=sin⁡α⋅cos⁡α(sin⁡α≠cos⁡α)\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \quad (\sin \alpha \neq \cos \alpha)
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo levu stranu jednakosti. Prvo ćemo faktorisati brojilac prvog razlomka koristeći formulu za razliku kvadrata:

sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u prvi razlomak i skraćivanjem dobijamo:

(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)sin⁡2α−cos⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α\frac{(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Na osnovu osnovnog trigonometrijskog identiteta sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , vrednost prvog razlomka je:

sin⁡4α−cos⁡4αsin⁡2α−cos⁡2α=1\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = 1

Sada ćemo faktorisati brojilac drugog razlomka koristeći formulu za zbir kubova:

sin⁡3α+cos⁡3α=(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)

Zamenom u drugi razlomak i skraćivanjem dobijamo:

(sin⁡α+cos⁡α)(sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α)sin⁡α+cos⁡α=sin⁡2α−sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 na dobijeni izraz, pa je vrednost drugog razlomka:

sin⁡3α+cos⁡3αsin⁡α+cos⁡α=1−sin⁡αcos⁡α\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 1 - \sin \alpha \cos \alpha

Sada oduzimamo pojednostavljeni drugi razlomak od pojednostavljenog prvog razlomka:

1−(1−sin⁡αcos⁡α)1 - (1 - \sin \alpha \cos \alpha)

Oslobađanjem od zagrade i sređivanjem izraza dobijamo konačan rezultat:

1−1+sin⁡αcos⁡α=sin⁡αcos⁡α1 - 1 + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak