PrethodniSledeći
4513.

934

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći trigonometrijski identitet:

sin⁡2α−sin⁡4αcos⁡2α+cos⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α−cos⁡4αsin⁡2α\frac{\sin^2 \alpha - \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Transformišemo levu stranu jednakosti. Izvlačimo zajednički činilac sin⁡2α \sin^2 \alpha u brojiocu razlomka.

Leva strana=sin⁡2α(1−sin⁡2α)cos⁡2α+cos⁡2α\text{Leva strana} = \frac{\sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha} + \cos^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle sledi da je 1−sin⁡2α=cos⁡2α. 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .

Leva strana=sin⁡2αcos⁡2αcos⁡2α+cos⁡2α\text{Leva strana} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \cos^2 \alpha

Skraćujemo razlomak sa cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

Leva strana=sin⁡2α+cos⁡2α\text{Leva strana} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Ponovo primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet.

Leva strana=1\text{Leva strana} = 1

Sada transformišemo desnu stranu jednakosti. Izvlačimo zajednički činilac cos⁡2α \cos^2 \alpha u brojiocu razlomka.

Desna strana=sin⁡2α+cos⁡2α(1−cos⁡2α)sin⁡2α\text{Desna strana} = \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha}

Iz osnovnog identiteta sledi da je 1−cos⁡2α=sin⁡2α. 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha .

Desna strana=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2αsin⁡2α\text{Desna strana} = \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo razlomak sa sin⁡2α. \sin^2 \alpha .

Desna strana=sin⁡2α+cos⁡2α\text{Desna strana} = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet.

Desna strana=1\text{Desna strana} = 1

Pošto su i leva i desna strana jednake 1, zaključujemo da je identitet tačan.

1=11 = 1

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak