PrethodniSledeći
4512.

931

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći trigonometrijski identitet:

cos⁡2α(1−tg α)(1+tg α)=cos⁡4α−sin⁡4α\cos^2 \alpha (1 - \text{tg} \, \alpha)(1 + \text{tg} \, \alpha) = \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz (1−tg α)(1+tg α). (1 - \text{tg} \, \alpha)(1 + \text{tg} \, \alpha) .

cos⁡2α(1−tg2α)\cos^2 \alpha (1 - \text{tg}^2 \alpha)

Koristimo osnovnu relaciju tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} da bismo zamenili tangens.

cos⁡2α(1−sin⁡2αcos⁡2α)\cos^2 \alpha \left(1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)

Množimo izraz u zagradi sa cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Da bismo dobili izraz sa desne strane, pomnožićemo dobijeni rezultat sa 1, 1 , što možemo zapisati preko osnovnog trigonometrijskog identiteta kao cos⁡2α+sin⁡2α. \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha .

(cos⁡2α−sin⁡2α)(cos⁡2α+sin⁡2α)(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 na dobijeni izraz.

(cos⁡2α)2−(sin⁡2α)2(\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2

Sređivanjem stepena dobijamo desnu stranu jednakosti, čime je identitet dokazan.

cos⁡4α−sin⁡4α\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak