4516. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija oštrog ugla

Krenućemo od leve strane jednakosti i primeniti formulu za kvadrat binoma.

(\text{ctg} \, \alpha + 1)^2 + (\text{ctg} \, \alpha - 1)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 :$

(\text{ctg}^2 \alpha + 2\text{ctg} \, \alpha + 1) + (\text{ctg}^2 \alpha - 2\text{ctg} \, \alpha + 1)

Sređujemo izraz tako što poništavamo suprotne članove $2\text{ctg} \, \alpha$ i $-2\text{ctg} \, \alpha :$

2\text{ctg}^2 \alpha + 2

Izvlačimo zajednički činilac $2$ ispred zagrade:

2(\text{ctg}^2 \alpha + 1)

Koristimo definiciju kotangensa $\text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} :$

2\left(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1\right)

Svodimo izraz u zagradi na zajednički imenilac:

2\left(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :$

2\left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right)

Množenjem dobijamo desnu stranu jednakosti, čime je identitet dokazan:

\frac{2}{\sin^2 \alpha}

932