PrethodniSledeći
4514.

933

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: sin⁡4α−cos⁡4α+sin⁡2α⋅ctg2 α=sin⁡2α. \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \, \alpha = \sin^2 \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Prva dva člana možemo faktorisati kao razliku kvadrata koristeći formulu a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

(sin⁡2α−cos⁡2α)⋅1=sin⁡2α−cos⁡2α(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha

Sada posmatramo treći član izraza. Zapisujemo kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći relaciju ctgα=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

sin⁡2α⋅ctg2α=sin⁡2α⋅cos⁡2αsin⁡2α\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Skraćujemo sin⁡2α \sin^2 \alpha u trećem članu.

sin⁡2α⋅cos⁡2αsin⁡2α=cos⁡2α\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha

Zamenjujemo dobijene rezultate nazad u početni izraz za levu stranu.

(sin⁡2α−cos⁡2α)+cos⁡2α(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha

Sređujemo izraz poništavanjem suprotnih članova −cos⁡2α -\cos^2 \alpha i cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

sin⁡2α−cos⁡2α+cos⁡2α=sin⁡2α\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet dokazan.

sin⁡2α=sin⁡2α\sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak