4572. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Neka su $A'$ i $A_1'$ podnožja visina iz temena $A$ i $A_1$ na prave koje sadrže stranice $BC$ i $B_1C_1 ,$ redom. Tada su dužine visina jednake:

\begin{aligned} AA' &= h_a \\ A_1A_1' &= h_{a_1} \end{aligned}

Neka su $A''$ i $A_1''$ središta stranica $BC$ i $B_1C_1 .$ Tada su dužine težišnih linija jednake:

\begin{aligned} AA'' &= t_a \\ A_1A_1'' &= t_{a_1} \end{aligned}

Posmatrajmo pravougle trouglove $\Delta AA'A''$ i $\Delta A_1A_1'A_1'' .$ Oni imaju jednake hipotenuze i po jednu jednaku katetu:

\begin{aligned} AA'' &= A_1A_1'' = t_a \\ AA' &= A_1A_1' = h_a \end{aligned}

Na osnovu stava SSU za pravougle trouglove (jednaka hipotenuza i kateta), ovi trouglovi su podudarni:

\Delta AA'A'' \cong \Delta A_1A_1'A_1''

Iz ove podudarnosti sledi jednakost odgovarajućih uglova:

\angle AA''A' = \angle A_1A_1''A_1'

Pošto su $A''$ i $A_1''$ središta stranica $BC$ i $B_1C_1 ,$ a po uslovu zadatka je $a = a_1 ,$ važi:

BA'' = A''C = B_1A_1'' = A_1''C_1 = \frac{a}{2}

Uglovi $\angle AA''B$ i $\angle AA''C$ su naporedni, pa je jedan od njih jednak uglu $\angle AA''A' ,$ a drugi njegovom suplementnom uglu $180^\circ - \angle AA''A' .$ Isto važi i za uglove $\angle A_1A_1''B_1$ i $\angle A_1A_1''C_1$ u drugom trouglu.

Bez umanjenja opštosti (eventualnom zamenom oznaka temena $B_1$ i $C_1$ ), možemo uspostaviti takvu korespondenciju da važi:

\begin{aligned} \angle AA''B &= \angle A_1A_1''B_1 \\ \angle AA''C &= \angle A_1A_1''C_1 \end{aligned}

Sada posmatrajmo trouglove $\Delta AA''B$ i $\Delta A_1A_1''B_1 .$ Za njih važi:

\begin{aligned} AA'' &= A_1A_1'' \quad (t_a) \\ \angle AA''B &= \angle A_1A_1''B_1 \\ BA'' &= B_1A_1'' \quad \left(\frac{a}{2}\right) \end{aligned}

Na osnovu stava SUS (dve stranice i zahvaćeni ugao), ovi trouglovi su podudarni:

\Delta AA''B \cong \Delta A_1A_1''B_1

Iz podudarnosti sledi jednakost odgovarajućih stranica:

AB = A_1B_1 \implies c = c_1

Potpuno analogno, posmatranjem trouglova $\Delta AA''C$ i $\Delta A_1A_1''C_1 ,$ na osnovu stava SUS dobijamo:

\Delta AA''C \cong \Delta A_1A_1''C_1 \implies AC = A_1C_1 \implies b = b_1

Konačno, za trouglove $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1$ važi:

\begin{aligned} a &= a_1 \\ b &= b_1 \\ c &= c_1 \end{aligned}

Na osnovu stava SSS (sve tri stranice su jednake), zaključujemo da su polazni trouglovi podudarni, čime je dokaz završen.

\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1

357