4575. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Neka su dati trouglovi $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1$ za koje važi $h_a = h_{a_1} ,$ $c = c_1$ i $h_b = h_{b_1} .$ Neka su $H_a$ i $H_{a_1}$ podnožja visina iz temena $A$ i $A_1 ,$ a $H_b$ i $H_{b_1}$ podnožja visina iz temena $B$ i $B_1 .$ Skica bi nam pomogla da uočimo pravougle trouglove koje formiraju ove visine.

Posmatrajmo pravougle trouglove $\Delta ABH_a$ i $\Delta A_1B_1H_{a_1} .$ U njima je hipotenuza $AB = c$ jednaka hipotenuzi $A_1B_1 = c_1 ,$ a kateta $AH_a = h_a$ jednaka kateti $A_1H_{a_1} = h_{a_1} .$

U ovim trouglovima ugao naspram hipotenuze je prav ugao, pa možemo primeniti IV stav o podudarnosti (SSU - stranica, stranica i ugao naspram veće stranice). Na osnovu ovog stava, trouglovi su podudarni:

\Delta ABH_a \cong \Delta A_1B_1H_{a_1}

Iz podudarnosti ovih pravouglih trouglova sledi da su im svi odgovarajući elementi jednaki. Posebno, ugao kod temena $B$ je jednak u oba trougla:

\beta = \beta_1

Sada posmatrajmo pravougle trouglove $\Delta ABH_b$ i $\Delta A_1B_1H_{b_1} .$ U njima je hipotenuza $AB = c$ jednaka hipotenuzi $A_1B_1 = c_1 ,$ a kateta $BH_b = h_b$ jednaka kateti $B_1H_{b_1} = h_{b_1} .$

Ponovo, primenom IV stava o podudarnosti (SSU) za pravougle trouglove, zaključujemo da su i ovi trouglovi podudarni:

\Delta ABH_b \cong \Delta A_1B_1H_{b_1}

Iz podudarnosti ovih trouglova sledi jednakost odgovarajućih uglova kod temena $A :$

\alpha = \alpha_1

Vratimo se na početne trouglove $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1 .$ Za njih sada znamo da imaju jednaku stranicu $c = c_1$ i njoj nalegle uglove $\alpha = \alpha_1$ i $\beta = \beta_1 .$

Na osnovu II stava o podudarnosti trouglova (USU - ugao-stranica-ugao), ovi uslovi su dovoljni da zaključimo da su trouglovi podudarni, čime je dokaz završen.

\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1

358