4576. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Neka su dati trouglovi $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1 .$ Skicirajmo ove trouglove i neka su $AD$ i $A_1D_1$ visine koje odgovaraju stranicama $BC$ i $B_1C_1 ,$ redom. Tada je $AD = h_a$ i $A_1D_1 = h_{a_1} .$

Posmatrajmo pravougle trouglove $\Delta ADC$ i $\Delta A_1D_1C_1 .$ U njima važi da je $\angle ADC = \angle A_1D_1C_1 = 90^\circ ,$ $AD = A_1D_1$ (jer je $h_a = h_{a_1}$ ) i $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$ (jer je $\gamma = \gamma_1$ ).

Pošto je zbir uglova u trouglu $180^\circ ,$ treći uglovi ovih pravouglih trouglova su takođe jednaki:

\angle DAC = 180^\circ - 90^\circ - \gamma = 90^\circ - \gamma = 90^\circ - \gamma_1 = \angle D_1A_1C_1

Na osnovu drugog stava o podudarnosti trouglova (USU), trouglovi $\Delta ADC$ i $\Delta A_1D_1C_1$ su podudarni jer imaju jednaku po jednu stranicu ( $AD = A_1D_1$ ) i dva nalegla ugla ( $\angle ADC = \angle A_1D_1C_1$ i $\angle DAC = \angle D_1A_1C_1$ ).

\Delta ADC \cong \Delta A_1D_1C_1

Iz podudarnosti ovih trouglova sledi jednakost odgovarajućih stranica, odnosno $AC = A_1C_1 ,$ što znači da je $b = b_1 .$

Sada posmatrajmo velike trouglove $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1 .$ Znamo da je $\beta = \beta_1$ i $\gamma = \gamma_1 .$ Kako je zbir uglova u trouglu $180^\circ ,$ računamo treći ugao:

\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) = 180^\circ - (\beta_1 + \gamma_1) = \alpha_1

Trouglovi $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1$ imaju jednaku po jednu stranicu ( $b = b_1$ ) i dva nalegla ugla ( $\alpha = \alpha_1$ i $\gamma = \gamma_1$ ). Na osnovu drugog stava o podudarnosti (USU), ovi trouglovi su podudarni.

\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1

356