PrethodniSledeći
4573.

359.b

TEKST ZADATKA

Primenom podudarnost trouglova dokazati da je svaka tačka na simetrali ugla jednako udaljena od oba kraka.

REŠENJE ZADATKA

Skica: Neka je dat ugao ∠xOy \angle xOy i njegova simetrala s. s . Neka je M M proizvoljna tačka na simetrali s. s .

Da bismo odredili udaljenost tačke M M od kraka Ox Ox i Oy, Oy , spuštamo normale iz tačke M M na te krake. Neka su A A i B B podnožja tih normala.

Dakle, važi MA⊥Ox MA \perp Ox i MB⊥Oy, MB \perp Oy , pa su uglovi kod temena A A i B B pravi.

Posmatrajmo pravougle trouglove ΔOAM \Delta OAM i ΔOBM. \Delta OBM .

Pošto je s s simetrala ugla, važi jednakost uglova:

∠MOA=∠MOB\angle MOA = \angle MOB

Stranica OM OM je zajednička za oba trougla.

Kako su trouglovi pravougli, zbir oštrih uglova je 90∘. 90^\circ . Treći ugao u trouglovima određujemo kao:

∠AMO=90∘−∠MOA∠BMO=90∘−∠MOB\begin{aligned} \angle AMO &= 90^\circ - \angle MOA \\ \angle BMO &= 90^\circ - \angle MOB \end{aligned}

S obzirom da je ∠MOA=∠MOB, \angle MOA = \angle MOB , sledi da je i:

∠AMO=∠BMO\angle AMO = \angle BMO

Sada imamo sledeće elemente za trouglove ΔOAM \Delta OAM i ΔOBM: \Delta OBM :

∠MOA=∠MOBOM=OM (zajednicˇka stranica)∠AMO=∠BMO\begin{aligned} \angle MOA &= \angle MOB \\ OM &= OM \text{ (zajednička stranica)} \\ \angle AMO &= \angle BMO \end{aligned}

Na osnovu drugog stava o podudarnosti trouglova (USU - ugao, stranica, ugao), zaključujemo da su ovi trouglovi podudarni.

ΔOAM≅ΔOBM\Delta OAM \cong \Delta OBM

Iz podudarnosti trouglova sledi jednakost odgovarajućih stranica, odnosno stranica naspram jednakih uglova.

MA=MBMA = MB

Ovim smo dokazali da je proizvoljna tačka M M na simetrali ugla jednako udaljena od oba njegova kraka.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu