4578. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Za početak, skicirajmo jednakokraki trougao $ABC$ sa osnovicom $AB$ i kracima $AC = BC .$ Povucimo duž $CD$ koja predstavlja simetralu ugla pri vrhu $C ,$ gde tačka $D$ pripada osnovici $AB .$

Pošto je $CD$ simetrala ugla $\angle ACB ,$ ona deli taj ugao na dva jednaka dela.

\angle ACD = \angle BCD

Posmatrajmo trouglove $\Delta ACD$ i $\Delta BCD .$ Za njih važe sledeći uslovi:

\begin{aligned} AC &= BC \quad (\text{kraci jednakokrakog trougla}) \\ \angle ACD &= \angle BCD \quad (\text{simetrala ugla}) \\ CD &= CD \quad (\text{zajednička stranica}) \end{aligned}

Na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova (SUS - stranica, ugao, stranica), zaključujemo da su ova dva trougla podudarna.

\Delta ACD \cong \Delta BCD

Iz podudarnosti trouglova sledi da su im svi odgovarajući elementi jednaki. Naspram jednakih uglova $\angle ACD$ i $\angle BCD$ nalaze se jednake stranice.

AD = BD

Pošto je $AD = BD ,$ tačka $D$ je središte duži $AB .$ Prema tome, duž $CD$ spaja teme sa središtem naspramne stranice, pa je ona težišna duž.

Takođe, iz podudarnosti trouglova sledi da su uglovi naspram jednakih stranica $AC$ i $BC$ jednaki.

\angle ADC = \angle BDC

Uglovi $\angle ADC$ i $\angle BDC$ su naporedni uglovi (leže na pravoj $AB$ ), pa je njihov zbir jednak opruženom uglu.

\angle ADC + \angle BDC = 180^\circ

Pošto su ovi uglovi jednaki, a njihov zbir je $180^\circ ,$ svaki od njih mora biti prav ugao.

\angle ADC = \angle BDC = 90^\circ

Kako je ugao između duži $CD$ i osnovice $AB$ prav, sledi da je $CD \perp AB .$ Time smo dokazali da je $CD$ ujedno i visina trougla.

360.a