359.a
Primenom podudarnosti trouglova dokazati da je svaka tačka na simetrali duži jednako udaljena od krajeva te duži.
Neka je data duž i njena simetrala Neka je središte duži (presek simetrale i duži). Po definiciji simetrale, ona prolazi kroz središte duži i normalna je na nju, pa važi i
Neka je proizvoljna tačka na simetrali Ako se tačka poklapa sa tvrđenje trivijalno važi. Pretpostavimo da je Spajanjem tačke sa krajevima duži i dobijamo trouglove i Potrebno je dokazati da je
Posmatrajmo trouglove i Za njih važe sledeća tri uslova. Prvi uslov je jednakost polovina duži:
Drugi uslov je jednakost uglova koje grade simetrala i duž:
Treći uslov je zajednička stranica:
Na osnovu I stava o podudarnosti trouglova (SUS - stranica, ugao, stranica), pošto imaju jednake po dve stranice i ugao zahvaćen njima, sledi da su trouglovi podudarni.
Iz podudarnosti ovih trouglova sledi jednakost svih odgovarajućih elemenata, pa i jednakost hipotenuza:
Kako je bila proizvoljna tačka na simetrali, zaključujemo da je svaka tačka na simetrali duži jednako udaljena od njenih krajeva. Time je dokaz završen.
Da li je rešenje bilo korisno?
Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.