4574. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Neka su $D$ i $D_1$ podnožja visina iz temena $A$ i $A_1$ na prave koje sadrže stranice $BC$ i $B_1C_1 .$ Tada je dužina visine $AD = h_a$ i $A_1D_1 = h_{a_1} .$

Posmatrajmo pravougle trouglove $\Delta ADC$ i $\Delta A_1D_1C_1 .$ Za njih važi sledeće:

\begin{aligned} AC &= A_1C_1 \quad (b = b_1) \\ AD &= A_1D_1 \quad (h_a = h_{a_1}) \\ \angle ADC &= \angle A_1D_1C_1 = 90^\circ \end{aligned}

Pošto su u pitanju pravougli trouglovi, primenjujemo stav SSU (hipotenuza i kateta su redom jednake). Zaključujemo da su ovi trouglovi podudarni:

\Delta ADC \cong \Delta A_1D_1C_1

Iz podudarnosti trouglova $\Delta ADC$ i $\Delta A_1D_1C_1$ sledi jednakost odgovarajućih elemenata, pa su im jednaki i uglovi kod temena $C$ i $C_1 :$

\angle C = \angle C_1

Sada posmatrajmo glavne trouglove $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1 .$ Za njih imamo sledeće jednake elemente:

\begin{aligned} BC &= B_1C_1 \quad (a = a_1) \\ AC &= A_1C_1 \quad (b = b_1) \\ \angle C &= \angle C_1 \quad (\text{dokazano}) \end{aligned}

Na osnovu stava SUS (dve stranice i njima zahvaćen ugao su jednaki), konačno zaključujemo da su polazni trouglovi podudarni:

\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1

Napomena: Ovaj dokaz podrazumeva da su uglovi $\angle C$ i $\angle C_1$ iste vrste (oba oštra ili oba tupa), kako bi visine padale sa iste strane temena u odnosu na stranicu.

355