4580. Podudarnost duži, uglova i trouglova

REŠENJE ZADATKA

Neka su dati trouglovi $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1$ i neka su $M$ i $M_1$ središta stranica $BC$ i $B_1C_1 .$

Kako je $a = a_1 ,$ odnosno $BC = B_1C_1 ,$ sledi da su i polovine ovih stranica jednake.

MC = \frac{BC}{2} = \frac{B_1C_1}{2} = M_1C_1

Posmatrajmo trouglove $\Delta AMC$ i $\Delta A_1M_1C_1 .$ Za njih važi:

\begin{cases} AC = A_1C_1 & (b = b_1) \\ AM = A_1M_1 & (t_a = t_{a_1}) \\ MC = M_1C_1 & (\text{dokazano}) \end{cases}

Na osnovu stava SSS (stranica-stranica-stranica), ovi trouglovi su podudarni.

\Delta AMC \cong \Delta A_1M_1C_1

Iz podudarnosti ovih trouglova sledi jednakost odgovarajućih uglova, konkretno uglova kod temena $C$ i $C_1 .$

\angle C = \angle C_1 \implies \gamma = \gamma_1

Sada posmatrajmo velike trouglove $\Delta ABC$ i $\Delta A_1B_1C_1 .$ Za njih važi:

\begin{cases} AC = A_1C_1 & (b = b_1) \\ BC = B_1C_1 & (a = a_1) \\ \gamma = \gamma_1 & (\text{dokazano}) \end{cases}

Na osnovu stava SUS (stranica-ugao-stranica), zaključujemo da su trouglovi podudarni, čime je dokaz završen.

\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1

354