PrethodniSledeći
4581.

360.v

TEKST ZADATKA

Trougao je jednakokrak ako su dve njegove stranice (kraci) iste dužine. Dokazati da za jednakokraki trougao važe sledeća tvrđenja: dužine simetrala uglova na osnovici su jednake;

REŠENJE ZADATKA

Neka je dat jednakokraki trougao ΔABC \Delta ABC sa osnovicom AB AB i kracima AC=BC. AC = BC . Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki, pa važi:

∠CAB=∠CBA=α\angle CAB = \angle CBA = \alpha

Neka su AD AD i BE BE simetrale uglova na osnovici, gde tačka D∈BC D \in BC i tačka E∈AC. E \in AC . Pošto su to simetrale jednakih uglova, važi:

∠DAB=∠EBA=α2\angle DAB = \angle EBA = \frac{\alpha}{2}

Posmatrajmo trouglove ΔABD \Delta ABD i ΔBAE. \Delta BAE . Za njih važi sledeće:

AB=BA(zajednicˇka stranica)∠ABD=∠BAE=α(uglovi na osnovici)∠DAB=∠EBA=α2(polovine uglova na osnovici)\begin{aligned} AB &= BA \quad (\text{zajednička stranica}) \\ \angle ABD &= \angle BAE = \alpha \quad (\text{uglovi na osnovici}) \\ \angle DAB &= \angle EBA = \frac{\alpha}{2} \quad (\text{polovine uglova na osnovici}) \end{aligned}

Na osnovu drugog stava o podudarnosti trouglova (USU - ugao-stranica-ugao), zaključujemo da su ovi trouglovi podudarni:

ΔABD≅ΔBAE\Delta ABD \cong \Delta BAE

Iz podudarnosti trouglova sledi jednakost odgovarajućih elemenata. Stranice naspram jednakih uglova (uglova od α \alpha ) su jednake, čime smo dokazali da su dužine simetrala uglova na osnovici jednake:

AD=BEAD = BE

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu