PrethodniSledeći
4588.

361.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da kod jednakostraničnog trougla važi: simetrale uglova se poklapaju sa odgovarajućim visinama i težišnim dužima;

REŠENJE ZADATKA

Neka je ABC ABC jednakostraničan trougao i neka simetrala ugla A A seče stranicu BC BC u tački D. D . Tada je AB=AC, AB=AC , uglovi BAD BAD i DAC DAC su jednaki, a duž AD AD je zajednička trouglovima ABD ABD i ACD. ACD .

AB=AC,∠BAD=∠DAC,AD=ADAB=AC,\qquad \angle BAD=\angle DAC,\qquad AD=AD

Po stavu SUS sledi △ABD≅△ACD. \triangle ABD\cong\triangle ACD . Zato su odgovarajuće duži BD BD i DC DC jednake, pa je D D sredina stranice BC. BC . Prema tome, simetrala AD AD je ujedno težišna duž.

△ABD≅△ACD⟹BD=DC\triangle ABD\cong\triangle ACD\quad\Longrightarrow\quad BD=DC

Iz iste podudarnosti dobijamo ∠ADB=∠CDA. \angle ADB=\angle CDA . To su jednaki naporedni uglovi jer su tačke B,D,C B,D,C kolinearne, pa su oba prava. Zato je AD⊥BC, AD\perp BC , odnosno simetrala AD AD je i visina.

∠ADB=∠CDA=90∘,AD⊥BC\angle ADB=\angle CDA=90^\circ,\qquad AD\perp BC

Isti dokaz važi za simetrale uglova iz temena B B i C, C , jer su sve tri stranice jednakostraničnog trougla jednake. Dakle, svaka simetrala ugla poklapa se sa odgovarajućom visinom i težišnom duži.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu