PrethodniSledeći
4595.

363.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da je trougao jednakokrak ako u njemu važi: simetrala ugla se poklapa sa visinom ili težišnom duži iz istog temena;

REŠENJE ZADATKA

Neka simetrala ugla A A trougla ABC ABC seče stranicu BC BC u tački D. D . Tada je ∠BAD=∠DAC, \angle BAD=\angle DAC , a duž AD AD zajednička je trouglovima ABD ABD i ACD. ACD .

∠BAD=∠DAC,AD=AD\angle BAD=\angle DAC,\qquad AD=AD

Prvi slučaj: simetrala AD AD poklapa se sa visinom. Tada su ∠ADB \angle ADB i ∠CDA \angle CDA pravi uglovi. Trouglovi ABD ABD i ACD ACD zato su podudarni po stavu USU, pa je AB=AC AB=AC i trougao ABC ABC je jednakokrak.

∠ADB=∠CDA=90∘,△ABD≅△ACD⟹AB=AC\angle ADB=\angle CDA=90^\circ,\qquad \triangle ABD\cong\triangle ACD\quad\Longrightarrow\quad AB=AC

Drugi slučaj: simetrala AD AD poklapa se sa težišnom duži. Tada je D D sredina stranice BC, BC , pa je CD=DB. CD=DB . Na polupravoj AD, AD , iza tačke D, D , izaberimo tačku E E tako da je DE=AD. DE=AD .

CD=DB,A,D,Eextsukolinearnetacˇke,DE=ADCD=DB,\qquad A,D,E ext{ su kolinearne tačke},\qquad DE=AD

Prave AE AE i BC BC seku se u tački D, D , pa su uglovi ADC ADC i EDB EDB unakrsni i zato jednaki. Sada trouglovi ACD ACD i EBD EBD imaju po dve jednake stranice i njima zahvaćene jednake uglove, pa su podudarni po stavu SUS.

AD=DE,CD=DB,∠ADC=∠EDB⟹△ACD≅△EBDAD=DE,\qquad CD=DB,\qquad \angle ADC=\angle EDB\quad\Longrightarrow\quad \triangle ACD\cong\triangle EBD

Iz ove podudarnosti slede jednakosti odgovarajućih stranica i uglova AC=EB AC=EB i ∠CAD=∠BED. \angle CAD=\angle BED . Pošto je AD AD simetrala ugla A, A , važi i ∠BAD=∠CAD, \angle BAD=\angle CAD , pa je ∠BAD=∠BED. \angle BAD=\angle BED .

AC=EB,∠CAD=∠BED,∠BAD=∠CADAC=EB,\qquad \angle CAD=\angle BED,\qquad \angle BAD=\angle CAD

Kako su A,D,E A,D,E kolinearne tačke, poluprave AE AE i AD AD imaju isti smer, dok poluprave EA EA i ED ED imaju isti smer. Zato je ∠BAE=∠BAD \angle BAE=\angle BAD i ∠AEB=∠BED, \angle AEB=\angle BED , odakle sledi ∠BAE=∠AEB. \angle BAE=\angle AEB .

∠BAE=∠BAD=∠BED=∠AEB\angle BAE=\angle BAD=\angle BED=\angle AEB

Uporedimo trouglove ABE ABE i EBA. EBA . Oni imaju jednake uglove kod A A i E, E , a duž AE AE im je zajednička, pa su podudarni po stavu USU. Zato je AB=BE. AB=BE . Kako je već dokazano BE=AC, BE=AC , dobijamo AB=AC. AB=AC . Dakle, i u ovom slučaju trougao ABC ABC je jednakokrak.

△ABE≅△EBA⟹AB=BE=AC\triangle ABE\cong\triangle EBA\quad\Longrightarrow\quad AB=BE=AC

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu