PrethodniSledeći
4596.

363.v

TEKST ZADATKA

Dokazati da je trougao jednakokrak ako u njemu važi: dve visine su podudarne.

REŠENJE ZADATKA

Neka su AD AD i BE BE podudarne visine trougla ABC. ABC . Tačka D D je podnožje normale iz A A na pravu nosač stranice BC, BC , a E E podnožje normale iz B B na pravu nosač stranice AC AC ; podnožja, dakle, ne moraju pripadati samim stranicama. Posmatrajmo pravougle trouglove ABD ABD i BAE. BAE .

D∈BC↔,E∈AC↔,AD=BE,∠ADB=∠BEA=90∘D\in\overleftrightarrow{BC},\qquad E\in\overleftrightarrow{AC},\qquad AD=BE,\qquad \angle ADB=\angle BEA=90^\circ

Pravougli trouglovi nisu degenerisani. Zaista, kada bi bilo D=B, D=B , imali bismo AD=AB, AD=AB , pa bi iz BE=AD BE=AD sledilo BE=AB. BE=AB . To bi bilo moguće samo za E=A, E=A , pa bi trougao ABC ABC imao dva prava ugla, kod A A i B, B , što je nemoguće. Isto se dobija ako se pretpostavi E=A. E=A . Zato je zajednička hipotenuza AB AB strogo duža od kateta AD AD i BE. BE .

D≠B,E≠A,AB>AD,AB>BED\ne B,\qquad E\ne A,\qquad AB>AD,\qquad AB>BE

Trouglovi imaju zajedničku hipotenuzu AB, AB , jednake katete AD=BE AD=BE i jednake prave uglove naspram duže od te dve jednake stranice. Zato su trouglovi ABD ABD i BAE BAE podudarni po stavu SSU, pa su im odgovarajući uglovi ABD ABD i BAE BAE jednaki.

AB=BA,AD=BE,∠ADB=∠BEA⟹△ABD≅△BAE⟹∠ABD=∠BAEAB=BA,\qquad AD=BE,\qquad \angle ADB=\angle BEA\quad\Longrightarrow\quad \triangle ABD\cong\triangle BAE\quad\Longrightarrow\quad \angle ABD=\angle BAE

Preostaje da položaj podnožja povežemo sa unutrašnjim uglovima. Ako je D D na polupravoj BC, BC , tada je ∠ABD=∠ABC \angle ABD=\angle ABC ; ako je na suprotnoj polupravoj, tada je ∠ABD=180∘−∠ABC. \angle ABD=180^\circ-\angle ABC . Slično, ako je E E na polupravoj AC, AC , tada je ∠BAE=∠BAC \angle BAE=\angle BAC ; ako je na suprotnoj polupravoj, tada je ∠BAE=180∘−∠BAC. \angle BAE=180^\circ-\angle BAC .

∠ABD∈{∠ABC,180∘−∠ABC},∠BAE∈{∠BAC,180∘−∠BAC}\angle ABD\in\{\angle ABC,180^\circ-\angle ABC\},\qquad \angle BAE\in\{\angle BAC,180^\circ-\angle BAC\}

Ne može samo jedno od podnožja biti na suprotnoj polupravoj. U tom slučaju bi jednakost ∠ABD=∠BAE \angle ABD=\angle BAE dala ∠ABC+∠BAC=180∘, \angle ABC+\angle BAC=180^\circ , pa bi treći ugao bio nula, suprotno pretpostavci da je trougao nedegenerisan. Oba podnožja ne mogu biti na suprotnim polupravama, jer bi tada oba ugla A A i B B bila tupa. Prema tome, obe poluprave imaju odgovarajući smer. Ovo obuhvata i slučaj kada je ugao C C tup: tada oba podnožja mogu biti izvan stranica, iza tačke C, C , ali i dalje leže na polupravama BC BC i AC. AC .

∠ABC+∠BAC<180∘\angle ABC+\angle BAC<180^\circ

Zato jednakost odgovarajućih uglova pravouglih trouglova daje ∠ABC=∠BAC. \angle ABC=\angle BAC . Naspram jednakih uglova trougla ABC ABC leže jednake stranice AC AC i BC. BC . Dakle, trougao ABC ABC je jednakokrak.

∠ABC=∠BAC⟹AC=BC\angle ABC=\angle BAC\quad\Longrightarrow\quad AC=BC

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu