PrethodniSledeći
4600.

376

TEKST ZADATKA

Dat je paralelogram ABCD ABCD kome je ugao kod temena A A oštar. Na pravim AB AB i CB, CB , redom, određene su tačke E E i F F tako da je A−B−E A-B-E i C−B−F C-B-F i da su trouglovi BCE BCE i ABF ABF jednakokraki (BC=CE BC=CE i AB=FA AB=FA ). Dokazati da su trouglovi ADF ADF i CED CED podudarni.

REŠENJE ZADATKA

Iz osobina paralelograma važi AD=BC AD=BC i CD=AB. CD=AB . Kada ove jednakosti spojimo sa datim jednakostima BC=CE BC=CE i AB=FA, AB=FA , dobijamo dva para jednakih stranica trouglova koje poredimo.

AD=BC=CE,CD=AB=AFAD=BC=CE,\qquad CD=AB=AF

Jednakost baznih uglova jednakokrakog trougla BCE BCE možemo zasnovati na stavu SSS: trouglovi BCE BCE i ECB ECB imaju BC=EC, BC=EC , CE=CB CE=CB i zajedničku stranicu BE. BE . Zato su podudarni i odgovarajući bazni uglovi su jednaki.

△BCE≅△ECB(SSS)⟹∠CBE=∠BEC\triangle BCE\cong\triangle ECB\quad(SSS)\quad\Longrightarrow\quad \angle CBE=\angle BEC

Na isti način, poređenjem trouglova ABF ABF i AFB AFB po stavu SSS, iz AB=AF AB=AF dobijamo jednakost baznih uglova drugog jednakokrakog trougla.

△ABF≅△AFB(SSS)⟹∠ABF=∠BFA\triangle ABF\cong\triangle AFB\quad(SSS)\quad\Longrightarrow\quad \angle ABF=\angle BFA

Zbog redosleda A−B−E, A-B-E , kraci BE BE i AB AB imaju isti smer. Zbog redosleda C−B−F, C-B-F , kraci BF BF i BC BC imaju suprotne smerove, kao i BA BA i BE. BE . Zato uglovi CBE CBE i ABF ABF imaju parove suprotno usmerenih krakova i jednaki su. Sa prethodne dve jednakosti sledi da su jednaki i uglovi BEC BEC i BFA. BFA .

∠CBE=∠ABF⟹∠BEC=∠BFA\angle CBE=\angle ABF\quad\Longrightarrow\quad \angle BEC=\angle BFA

Prave AD AD i BC BC su paralelne, a kraci AF AF i FA FA su suprotni. Zato je ∠DAF \angle DAF suplementan uglu BFA. BFA . Takođe, kraci CD CD i EB EB imaju isti smer jer je CD∥AB, CD\parallel AB , dok su CE CE i EC EC suprotni; zato je ∠ECD \angle ECD suplementan uglu BEC. BEC . Naporedni, odnosno suplementni uglovi jednakih uglova jednaki su među sobom.

∠DAF=∠ECD\angle DAF=\angle ECD

Trouglovi ADF ADF i CED CED imaju jednake stranice AD=CE AD=CE i AF=CD, AF=CD , kao i jednake uglove zahvaćene tim stranicama. Prema stavu SUS, trouglovi su podudarni.

△ADF≅△CED(SUS)\triangle ADF\cong\triangle CED\quad(SUS)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu