PrethodniSledeći
4612.

375

TEKST ZADATKA

Nad stranicama AB AB i CA CA trougla ABC ABC sa spoljašnje strane konstruisani su jednakostranični trouglovi BAD BAD i ACE. ACE . Dokazati da su duži CD CD i BE BE jednake.

REŠENJE ZADATKA

Označimo unutrašnji ugao trougla ABC ABC kod temena A A sa α. \alpha . Pošto je ABC ABC nedegenerisan trougao, važi 0∘<α<180∘. 0^\circ<\alpha<180^\circ .

α=∠BAC,0∘<α<180∘\alpha=\angle BAC,\qquad 0^\circ<\alpha<180^\circ

Iz jednakostraničnosti trouglova BAD BAD i ACE ACE dobijamo jednakosti stranica koje će biti potrebne za stav SUS, kao i uglove od 60∘ 60^\circ kod temena A. A .

AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60∘AD=AB,\qquad AC=AE,\qquad \angle DAB=\angle CAE=60^\circ

Spoljašnja konstrukcija određuje položaj poluprava: poluprava AD AD nalazi se sa one strane prave AB AB na kojoj nije tačka C, C , dok se poluprava AE AE nalazi sa one strane prave AC AC na kojoj nije tačka B. B . Zato se, idući oko tačke A A od poluprave AD AD preko unutrašnjeg ugla BAC BAC do poluprave AE, AE , redom pojavljuju ugao od 60∘, 60^\circ , ugao α \alpha i još jedan ugao od 60∘. 60^\circ . Ovaj raspored omogućava da obične, manje uglove CAD CAD i BAE BAE odredimo po slučajevima.

∠DAB=60∘,∠BAC=α,∠CAE=60∘\angle DAB=60^\circ,\qquad \angle BAC=\alpha,\qquad \angle CAE=60^\circ

Ako je α<120∘, \alpha<120^\circ , zbir α+60∘ \alpha+60^\circ je manji od 180∘, 180^\circ , pa je upravo taj zbir običan ugao između poluprava AC AC i AD. AD . Isti zbir je običan ugao između poluprava AB AB i AE. AE . Prema tome, uključeni uglovi trouglova ACD ACD i AEB AEB jednaki su.

α<120∘⟹∠CAD=α+60∘=∠BAE\alpha<120^\circ\quad\Longrightarrow\quad \angle CAD=\alpha+60^\circ=\angle BAE

Ako je α>120∘, \alpha>120^\circ , zbir α+60∘ \alpha+60^\circ je veći od 180∘. 180^\circ . Zato običan ugao nije taj refleksni ugao, već njegov ostatak do punog ugla. To važi i za par poluprava AC,AD AC,AD i za par poluprava AB,AE, AB,AE , pa su uključeni uglovi ponovo jednaki.

α>120∘⟹∠CAD=360∘−(α+60∘)=300∘−α=∠BAE\alpha>120^\circ\quad\Longrightarrow\quad \angle CAD=360^\circ-(\alpha+60^\circ)=300^\circ-\alpha=\angle BAE

U oba nedegenerisana slučaja, odnosno kada je α≠120∘, \alpha\ne120^\circ , trouglovi ACD ACD i AEB AEB imaju po dve jednake stranice i jednake njima zahvaćene uglove: AC=AE, AC=AE , AD=AB AD=AB i ∠CAD=∠BAE. \angle CAD=\angle BAE . Zato su podudarni po stavu SUS. Stranice CD CD i BE BE odgovaraju jedna drugoj, pa su jednake.

△ACD≅△AEB(SUS)⟹CD=BE\triangle ACD\cong\triangle AEB\quad(SUS)\quad\Longrightarrow\quad CD=BE

Preostaje slučaj α=120∘. \alpha=120^\circ . Tada je α+60∘=180∘, \alpha+60^\circ=180^\circ , pa su poluprave AC AC i AD AD suprotne, kao i poluprave AB AB i AE. AE . Dakle, tačke C,A,D C,A,D su kolinearne i A A je između C C i D, D , dok su tačke B,A,E B,A,E kolinearne i A A je između B B i E. E . Zato važi CD=CA+AD CD=CA+AD i BE=BA+AE. BE=BA+AE . Koristeći CA=AE CA=AE i AD=AB, AD=AB , dobijamo traženu jednakost.

CD=CA+AD=AE+AB=BECD=CA+AD=AE+AB=BE

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu