PrethodniSledeći
4602.

369

TEKST ZADATKA

Duž AB AB pripada simetrali ugla POQ POQ (slika) pri čemu je OP=OQ. OP=OQ . Dokazati da je ∠APB=∠AQB. \angle APB=\angle AQB . Konveksan ugao POQ ima teme O, gornji krak OP usmeren nadesno i nagore i donji krak OQ usmeren vodoravno nadesno. Tačka P leži na gornjem, a Q na donjem kraku, uz OP=OQ. Tačke A i B leže na simetrali ugla POQ, pri čemu je raspored O-A-B. Nacrtane su duži PA, PB, QA i QB; duž AB je prikazana isprekidanom linijom.

REŠENJE ZADATKA

Pošto tačka A A pripada simetrali ugla POQ, POQ , ona deli taj ugao na dva jednaka ugla: ∠POA=∠AOQ. \angle POA=\angle AOQ . U trouglovima POA POA i QOA QOA važi OP=OQ, OP=OQ , OA=OA, OA=OA , a jednaki su i uglovi između tih stranica. Zato su trouglovi podudarni po I stavu (SUS), pri korespondenciji P↔Q, P\leftrightarrow Q , O↔O, O\leftrightarrow O , A↔A. A\leftrightarrow A .

OP=OQ,∠POA=∠QOA,OA=OA⟹△POA≅△QOAOP=OQ,\quad \angle POA=\angle QOA,\quad OA=OA\quad\Longrightarrow\quad\triangle POA\cong\triangle QOA

Iz prve podudarnosti dobijamo jednakost odgovarajućih stranica koje spajaju tačku A A sa kracima ugla.

AP=AQAP=AQ

Tačka B B je takođe na simetrali ugla, pa je ∠POB=∠BOQ. \angle POB=\angle BOQ . U trouglovima POB POB i QOB QOB važi OP=OQ, OP=OQ , OB=OB, OB=OB , a uglovi između tih stranica su jednaki. Po I stavu (SUS) trouglovi su podudarni, pri korespondenciji P↔Q, P\leftrightarrow Q , O↔O, O\leftrightarrow O , B↔B. B\leftrightarrow B .

OP=OQ,∠POB=∠QOB,OB=OB⟹△POB≅△QOBOP=OQ,\quad \angle POB=\angle QOB,\quad OB=OB\quad\Longrightarrow\quad\triangle POB\cong\triangle QOB

Iz druge podudarnosti dobijamo jednakost odgovarajućih stranica koje spajaju tačku B B sa kracima ugla.

BP=BQBP=BQ

Sada posmatrajmo trouglove APB APB i AQB. AQB . Važi AP=AQ, AP=AQ , PB=QB PB=QB i AB=AB. AB=AB . Zato su oni podudarni po III stavu (SSS), pri korespondenciji A↔A, A\leftrightarrow A , P↔Q, P\leftrightarrow Q , B↔B. B\leftrightarrow B .

AP=AQ,PB=QB,AB=AB⟹△APB≅△AQBAP=AQ,\quad PB=QB,\quad AB=AB\quad\Longrightarrow\quad\triangle APB\cong\triangle AQB

U poslednjoj podudarnosti temenu P P odgovara teme Q. Q . Zato su odgovarajući uglovi jednaki, što je trebalo dokazati.

∠APB=∠AQB\angle APB=\angle AQB

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu