4604. Podudarnost duži, uglova i trouglova

Neka su $AH$ i $A'H'$ odgovarajuće visine na prave koje sadrže stranice $BC$ i $B'C' .$ Dati su jednaki uglovi naspram tih visina, odnosno odgovarajući bazni uglovi:

AH=A'H',\qquad \angle ABC=\angle A'B'C',\qquad \angle ACB=\angle A'C'B'

Najpre pretpostavimo da nijedan od datih baznih uglova nije prav. Visine tada obrazuju pravougle trouglove $ABH, AHC, A'B'H'$ i $A'H'C' .$ U paru uz teme $B ,$ ugao $\angle ABH$ jednak je uglu $\angle ABC$ ili njegovom suplementu, zavisno od toga na kom se produžetku nalazi podnožje visine; isto važi za odgovarajući primovani trougao. Pošto su odgovarajući bazni uglovi jednaki, jednaki su i odgovarajući uglovi pravouglih trouglova:

\angle ABH=\angle A'B'H',\qquad \angle AHB=\angle A'H'B'=90^\circ

Zbir uglova trougla je $180^\circ ,$ pa iz jednakosti jednog oštrog ugla i pravih uglova sledi jednakost preostalih oštrih uglova. Stranica $AH=A'H'$ nalazi se između tih preostalih uglova i pravih uglova. Zato su trouglovi $ABH$ i $A'B'H'$ podudarni po stavu USU, pa su im jednake odgovarajuće stranice.

\angle BAH=180^\circ-90^\circ-\angle ABH=\angle B'A'H',\qquad \triangle ABH\cong\triangle A'B'H'\ (\mathrm{USU}),\qquad AB=A'B',\ BH=B'H'

Isto primenjujemo uz teme $C .$ Ugao uz osnovicu u pomoćnom pravouglom trouglu jednak je datom uglu $\angle ACB$ ili njegovom suplementu, a odgovarajući izbor je isti jer su dati uglovi jednaki. Preostali oštri uglovi jednaki su po zbiru uglova, a jednake visine su uključene stranice. Zato ponovo po USU dobijamo:

\angle ACH=\angle A'C'H',\quad \angle CAH=\angle C'A'H',\quad \triangle AHC\cong\triangle A'H'C'\ (\mathrm{USU}),\quad AC=A'C',\ HC=H'C'

Položaj podnožja određen je vrstom baznih uglova, koja je ista u oba trougla. Ako su oba bazna ugla oštra, podnožje je između krajeva i važi $BC=BH+HC .$ Ako je jedan bazni ugao tup, podnožje je na odgovarajućem produžetku i $BC$ je razlika dužih i kraćih odsečaka. Kako je $BH=B'H'$ i $HC=H'C' ,$ u svakom od ovih slučajeva sledi $BC=B'C' .$

BC=B'C'

Preostaje granični slučaj kada je jedan odgovarajući bazni ugao prav. Ako je $\angle ABC=\angle A'B'C'=90^\circ ,$ podnožja su $H=B$ i $H'=B' ,$ pa se visine poklapaju sa odgovarajućim stranicama: $AH=AB$ i $A'H'=A'B' .$ Jednakost drugih datih baznih uglova i zbir uglova trougla daju i jednakost preostalih uglova kod $A$ i $A' .$ Cele trouglove zato direktno upoređujemo po USU, sa jednakom visinom kao uključenom stranicom.

AB=AH=A'H'=A'B',\quad \angle BAC=\angle B'A'C',\quad \triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\ (\mathrm{USU})

Analogno, ako je drugi odgovarajući bazni ugao prav, odnosno $\angle ACB=\angle A'C'B'=90^\circ ,$ tada je $H=C$ i $H'=C' ,$ pa se visine poklapaju sa stranicama $AC$ i $A'C' .$ Jednakost uglova kod $B$ i $B'$ daje, preko zbira uglova, jednakost uglova kod $A$ i $A'$ ; zato su celi trouglovi opet podudarni po USU, sa visinom kao uključenom stranicom.

AC=AH=A'H'=A'C',\quad \angle BAC=\angle B'A'C',\quad \triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\ (\mathrm{USU})

Dakle, u nepravouglom slučaju dobijene su tri jednake odgovarajuće stranice, pa važi stav SSS, dok je u pravim graničnim slučajevima podudarnost dobijena direktno po USU. U svim slučajevima odgovor je: da.

\boxed{\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'}

370.b