4605. Podudarnost duži, uglova i trouglova

Neka su $AM$ i $A'M'$ odgovarajuće težišne duži. Po uslovu su jednake težišne duži i odgovarajući delovi uglova kod temena iz kojih polaze.

AM=A'M',\qquad \angle BAM=\angle B'A'M',\qquad \angle MAC=\angle M'A'C'

Na polupravoj $AM$ iza tačke $M$ izaberimo tačku $E$ tako da je $ME=AM .$ Analogno odredimo $E' .$ Tada su $M$ i $M'$ središta duži $AE$ i $A'E' .$

AE=2AM=2A'M'=A'E'

Pošto je $AM$ težišna duž, važi $BM=CM .$ Uglovi $BME$ i $CMA$ su unakrsni, pa su jednaki. Trouglovi $BME$ i $CMA$ zato su podudarni po stavu SUS. Analogno važi u drugoj konstrukciji.

\triangle BME\cong\triangle CMA,\qquad \triangle B'M'E'\cong\triangle C'M'A'\quad(\mathrm{SUS})

Iz ovih podudarnosti slede $BE=AC ,$ $B'E'=A'C'$ i jednakosti uglova kod $E .$ Kako tačke $A,M,E$ leže na istoj pravoj, uglovi trougla $ABE$ uz stranicu $AE$ jednaki su datim delovima ugla kod $A$ ; analogno važi u drugom trouglu.

BE=AC,\qquad B'E'=A'C',\qquad \angle BAE=\angle BAM,\qquad \angle AEB=\angle MAC

Trouglovi $ABE$ i $A'B'E'$ imaju jednaku stranicu i jednake uglove nalegle na nju, pa su podudarni po stavu USU.

\triangle ABE\cong\triangle A'B'E'\quad(\mathrm{USU})

Iz te podudarnosti i prethodno dokazanih jednakosti dobijamo dve jednake odgovarajuće stranice polaznih trouglova. Njihovi zahvaćeni uglovi su zbirovi datih jednakih delova.

AB=A'B',\qquad AC=BE=B'E'=A'C',\qquad \angle BAC=\angle B'A'C'

Polazni trouglovi su zato podudarni po stavu SUS. Odgovor je: da.

\boxed{\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'}\quad(\mathrm{SUS})

370.d