TEKST ZADATKA
Ako su trouglovi ABC i A′B′C′ podudarni i D, odnosno D′, unutrašnje tačke stranica AB, tj. A′B′, tako da je ∠BCD=∠B′C′D′, dokazati da je AD=A′D′.
REŠENJE ZADATKA
Iz podudarnosti trouglova ABC i A′B′C′ slede jednakost odgovarajućih stranica i jednakost odgovarajućih uglova.
AB=A′B′,BC=B′C′,∠CBA=∠C′B′A′ Pošto je D unutrašnja tačka stranice AB, poluprave BD i BA se poklapaju. Slično, poluprave B′D′ i B′A′ se poklapaju. Zato su uglovi kod temena B u manjim trouglovima jednaki odgovarajućim uglovima polaznih trouglova.
∠CBD=∠CBA,∠C′B′D′=∠C′B′A′ Prema tome, uglovi CBD i C′B′D′ su jednaki. Drugi par uglova jednak je po uslovu zadatka.
∠CBD=∠C′B′D′,∠BCD=∠B′C′D′ U trouglovima BCD i B′C′D′ jednake su stranice BC i B′C′ i oba ugla nalegla na njih. Zato su ti trouglovi podudarni po stavu USU.
△BCD≅△B′C′D′(USU) Iz ove podudarnosti slede jednake odgovarajuće stranice BD i B′D′.
Tačke D i D′ su unutrašnje tačke odgovarajućih stranica, pa njihove delove dobijamo oduzimanjem. Koristeći AB=A′B′ i BD=B′D′, zaključujemo:
AD=AB−BD=A′B′−B′D′=A′D′ Time je tražena jednakost dokazana.
AD=A′D′