PrethodniSledeći
4609.

372

TEKST ZADATKA

Dokazati da je medijana (težišna duž), konstruisana iz jednog temena trougla jednako udaljena od ostala dva temena.

REŠENJE ZADATKA

Neka je AD AD medijana trougla ABC ABC i neka je D D sredina stranice BC. BC . Posmatramo pravu koja sadrži medijanu AD. AD . Rastojanje tačke od prave jeste dužina normale spuštene iz te tačke na pravu. Zato spustimo normale BP BP i CQ CQ na pravu AD, AD , gde su P,Q∈AD P,Q\in AD ; treba dokazati BP=CQ. BP=CQ .

DB=DC,BP⊥AD,CQ⊥ADDB=DC,\qquad BP\perp AD,\qquad CQ\perp AD

Ako se P P i Q Q ne poklapaju sa D, D , tačke P P i Q Q leže na suprotnim polupravama prave AD AD sa početkom u D, D , dok su B B i C C na suprotnim polupravama prave BC. BC . Zato su uglovi BDP BDP i CDQ CDQ unakrsni, pa su jednaki. Osim toga, uglovi kod podnožja normala su pravi.

∠BDP=∠CDQ,∠BPD=∠CQD=90∘\angle BDP=\angle CDQ,\qquad \angle BPD=\angle CQD=90^\circ

Pošto je zbir uglova svakog trougla 180∘, 180^\circ , iz jednakosti pravih uglova i uglova kod D D sledi jednakost preostalih uglova.

∠DBP=∠DCQ\angle DBP=\angle DCQ

U trouglovima BDP BDP i CDQ CDQ jednaka su po dva ugla i stranice DB DB i DC DC između njih. Zato su trouglovi podudarni po stavu USU, pa su odgovarajuće normalne jednake.

△BDP≅△CDQ(USU)⟹BP=CQ\triangle BDP\cong\triangle CDQ\quad(USU)\quad\Longrightarrow\quad BP=CQ

Ako se podnožja poklapaju sa D, D , tada je AD⊥BC, AD\perp BC , pa neposredno važi BP=BD=DC=CQ. BP=BD=DC=CQ . Dakle, u svim slučajevima su rastojanja temena B B i C C od prave koja sadrži medijanu AD AD jednaka.

d(B,AD)=BP=CQ=d(C,AD)d(B,AD)=BP=CQ=d(C,AD)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu