PrethodniSledeći
4610.

373

TEKST ZADATKA

U rombu ABCD ABCD sa uglom 60∘ 60^\circ kod temena A, A , na stranicama AB AB i BC BC date su tačke M M i N N takve da je zbir MB+BN MB+BN jednak stranici romba. Dokazati da je trougao MND MND jednakostranični.

REŠENJE ZADATKA

Označimo dužinu stranice romba sa a. a . Pošto je MB+BN=a, MB+BN=a , a AB=BC=CD=DA=a, AB=BC=CD=DA=a , oduzimanjem delova odgovarajućih stranica dobijamo dve korisne jednakosti.

AM=AB−MB=a−MB=BN,CN=BC−BN=a−BN=MBAM=AB-MB=a-MB=BN,\qquad CN=BC-BN=a-BN=MB

Nad duži AM, AM , u unutrašnjosti ugla DAB, DAB , konstruišimo jednakostranični trougao AMP. AMP . Kako je ∠DAB=60∘, \angle DAB=60^\circ , njegov krak AP AP poklapa se sa pravom AD, AD , pa je P∈AD. P\in AD . Iz jednakostraničnosti sledi AP=PM=AM=BN. AP=PM=AM=BN .

AP=PM=AM=BNAP=PM=AM=BN

Pošto je AD=a AD=a i AP=AM=BN, AP=AM=BN , sledi DP=a−BN=MB. DP=a-BN=MB . Ugao DPM DPM je naporedan uglu APM=60∘, APM=60^\circ , pa je jednak 120∘. 120^\circ . U rombu su susedni uglovi suplementni, zato je i ∠MBN=∠ABC=120∘. \angle MBN=\angle ABC=120^\circ .

DP=MB,PM=BN,∠DPM=∠MBN=120∘DP=MB,\qquad PM=BN,\qquad \angle DPM=\angle MBN=120^\circ

Prema stavu SUS podudarni su trouglovi DPM DPM i MBN: MBN : jednake su im po dve stranice i uglovi zahvaćeni tim stranicama. Pri korespondenciji D↔M, D\leftrightarrow M , P↔B, P\leftrightarrow B , M↔N M\leftrightarrow N dobijamo jednakost stranica i odgovarajućih uglova.

△DPM≅△MBN⟹DM=MN,∠PDM=∠BMN,∠DMP=∠BNM\triangle DPM\cong\triangle MBN\quad\Longrightarrow\quad DM=MN,\quad \angle PDM=\angle BMN,\quad \angle DMP=\angle BNM

Neka su β=∠PDM=∠BMN \beta=\angle PDM=\angle BMN i γ=∠DMP=∠BNM. \gamma=\angle DMP=\angle BNM . U trouglu DPM DPM treći ugao je 120∘, 120^\circ , pa je β+γ=60∘. \beta+\gamma=60^\circ . Takođe, MA MA i MB MB su suprotni kraci, pa je ∠PMB=120∘. \angle PMB=120^\circ . Po redosledu krakova MP,MD,MN,MB, MP,MD,MN,MB , ovaj ugao je zbir γ+∠DMN+β. \gamma+\angle DMN+\beta . Otuda je ugao između jednakih stranica DM DM i MN MN jednak 60∘. 60^\circ .

∠DMN=120∘−(β+γ)=60∘\angle DMN=120^\circ-(\beta+\gamma)=60^\circ

Trougao DMN DMN je jednakokrak jer je DM=MN. DM=MN . Njegova dva naspramna ugla su jednaka, što se može dobiti i poređenjem trouglova DMN DMN i NMD NMD po stavu SSS. Kako je ugao pri temenu M M jednak 60∘, 60^\circ , preostala dva jednaka ugla imaju zbir 120∘, 120^\circ , pa je svaki od njih 60∘. 60^\circ . Zato su sve tri stranice jednake i trougao je jednakostraničan.

DM=MN=DNDM=MN=DN

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu