4611. Podudarnost duži, uglova i trouglova

Simetrale unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla pri istom temenu međusobno su normalne, jer polovine dva naporedna ugla zajedno daju $90^\circ .$ Zato je normala $AM$ paralelna simetrali unutrašnjeg ugla kod $B ,$ a normala $AN$ simetrali unutrašnjeg ugla kod $C .$ Unutrašnja simetrala kod $B$ ima smer između poluprava $BA$ i $BC$ ; zato njena paralela kroz $A ,$ u smeru ka pravoj $BC ,$ seče tu pravu na polupravoj sa početkom u $B$ suprotnoj polupravoj $BC .$ Dakle, $M$ leži na polupravoj iz $B$ suprotnoj od $C .$ Analogno, unutrašnja simetrala kod $C$ ima smer između poluprava $CA$ i $CB ,$ pa $N$ leži na polupravoj iz $C$ suprotnoj od $B .$ Zato je redosled tačaka $M-B-C-N .$

M-B-C-N

Neka simetrala spoljašnjeg ugla kod temena $B$ seče normalu $AM$ u tački $P .$ Ta simetrala deli spoljašnji ugao između krakova $BA$ i $BM$ na jednake uglove. Kako je $AM\perp BP ,$ uglovi $APB$ i $MPB$ su pravi.

\angle ABP=\angle PBM,\qquad \angle APB=\angle MPB=90^\circ

Trouglovi $ABP$ i $MBP$ imaju jednake uglove kod $B ,$ jednake prave uglove kod $P$ i zajedničku stranicu $BP$ između tih uglova. Zato su podudarni po stavu USU, pa su njihove odgovarajuće stranice jednake.

\triangle ABP\cong\triangle MBP\quad(USU)\quad\Longrightarrow\quad AB=BM

Analogno, neka simetrala spoljašnjeg ugla kod temena $C$ seče normalu $AN$ u tački $Q .$ Ona deli spoljašnji ugao između krakova $CA$ i $CN ,$ a normalnost daje dva prava ugla kod $Q .$

\angle ACQ=\angle QCN,\qquad \angle AQC=\angle NQC=90^\circ

Trouglovi $ACQ$ i $NCQ$ imaju po dva jednaka ugla i zajedničku stranicu $CQ$ između njih. Po stavu USU oni su podudarni, pa dobijamo drugu potrebnu jednakost.

\triangle ACQ\cong\triangle NCQ\quad(USU)\quad\Longrightarrow\quad AC=CN

Pošto je redosled tačaka $M-B-C-N ,$ duž $MN$ je zbir tri uzastopne duži. Uvrštavanjem dokazanih jednakosti dobijamo traženu jednakost.

MN=MB+BC+CN=AB+BC+CA

374