3998.

605.v

TEKST ZADATKA

Odrediti realne brojeve a, a , b b i c c tako da sledeći polinomi budu identički jednaki: A(x)=12x3−40x2+27x−5 A(x) = 12x^3 - 40x^2 + 27x - 5 i B(x)=(3x−1)(ax2+bx+c) B(x) = (3x - 1)(ax^2 + bx + c) ;

REŠENJE ZADATKA

Dva polinoma su identički jednaka ako imaju jednake stepene i ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene jednaki. Prvo ćemo pomnožiti izraze u polinomu B(x) B(x) kako bismo ga sveli na kanonski oblik.

B(x)=(3x−1)(ax2+bx+c)B(x) = (3x - 1)(ax^2 + bx + c)

Množimo svaki član prve zagrade sa svakim članom druge zagrade.

B(x)=3x⋅ax2+3x⋅bx+3x⋅c−1⋅ax2−1⋅bx−1⋅cB(x) = 3x \cdot ax^2 + 3x \cdot bx + 3x \cdot c - 1 \cdot ax^2 - 1 \cdot bx - 1 \cdot c

Sređujemo dobijeni izraz.

B(x)=3ax3+3bx2+3cx−ax2−bx−cB(x) = 3ax^3 + 3bx^2 + 3cx - ax^2 - bx - c

Grupišemo članove uz iste stepene promenljive x. x .

B(x)=3ax3+(3b−a)x2+(3c−b)x−cB(x) = 3ax^3 + (3b - a)x^2 + (3c - b)x - c

Sada upoređujemo koeficijente polinoma A(x) A(x) i B(x) B(x) uz odgovarajuće stepene promenljive x. x .

A(x)=12x3−40x2+27x−5B(x)=3ax3+(3b−a)x2+(3c−b)x−c\begin{aligned} A(x) &= 12x^3 - 40x^2 + 27x - 5 \\ B(x) &= 3ax^3 + (3b - a)x^2 + (3c - b)x - c \end{aligned}

Formiramo sistem jednačina izjednačavanjem koeficijenata uz x3, x^3 , x2, x^2 , x x i slobodnih članova.

{3a=123b−a=−403c−b=27−c=−5\begin{cases} 3a = 12 \\ 3b - a = -40 \\ 3c - b = 27 \\ -c = -5 \end{cases}

Iz prve jednačine računamo vrednost za a. a .

a=123=4a = \frac{12}{3} = 4

Iz četvrte jednačine računamo vrednost za c. c .

c=5c = 5

Zamenjujemo vrednost a=4 a = 4 u drugu jednačinu kako bismo izračunali b. b .

3b−4=−403b=−36b=−12\begin{aligned} 3b - 4 &= -40 \\ 3b &= -36 \\ b &= -12 \end{aligned}

Proveravamo dobijene vrednosti zamenom b=−12 b = -12 i c=5 c = 5 u treću jednačinu.

3⋅5−(−12)=2715+12=2727=27\begin{aligned} 3 \cdot 5 - (-12) &= 27 \\ 15 + 12 &= 27 \\ 27 &= 27 \end{aligned}

Pošto je jednakost tačna, traženi realni brojevi su:

a=4,b=−12,c=5a = 4, \quad b = -12, \quad c = 5