4517. Rešavanje pravouglog trougla

REŠENJE ZADATKA

Neka je $ABC$ pravougli trougao sa pravim uglom kod temena $C$ i uglom $\alpha$ kod temena $A .$ Visina $h_c$ spuštena iz temena $C$ na hipotenuzu $AB$ u tački $D$ deli trougao na dva manja pravougla trougla.

Posmatrajmo pravougli trougao $ADC$ (gde je ugao kod temena $D$ prav). Ugao kod temena $A$ je $\alpha ,$ naspramna kateta je visina $h_c ,$ a hipotenuza je kateta $b$ velikog trougla. Primenom definicije sinusa dobijamo:

\sin \alpha = \frac{h_c}{b} \implies b = \frac{h_c}{\sin \alpha}

Sada posmatrajmo veliki pravougli trougao $ABC .$ Nalegnuta kateta uglu $\alpha$ je $b ,$ a hipotenuza je $c .$ Primenom definicije kosinusa dobijamo:

\cos \alpha = \frac{b}{c} \implies c = \frac{b}{\cos \alpha}

Zamenom izraza za katetu $b$ u jednačinu za hipotenuzu $c ,$ dobijamo vezu između hipotenuze, visine i ugla:

c = \frac{\frac{h_c}{\sin \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{h_c}{\sin \alpha \cos \alpha}

Ubacivanjem poznatih vrednosti $h_c = 105$ i $\alpha = 27^\circ 50'$ u dobijenu formulu, računamo dužinu hipotenuze:

c = \frac{105}{\sin(27^\circ 50') \cos(27^\circ 50')}

Nalazimo približne vrednosti trigonometrijskih funkcija za dati ugao:

\sin(27^\circ 50') \approx 0.4669 \\ \cos(27^\circ 50') \approx 0.8843

Zamenom ovih vrednosti računamo konačan rezultat:

c \approx \frac{105}{0.4669 \cdot 0.8843} \approx \frac{105}{0.4129} \approx 254.3

938