4518. Rešavanje pravouglog trougla

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo nepoznati oštar ugao $\beta .$ Zbir oštrih uglova u pravouglom trouglu je $90^\circ .$

\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 27^\circ 36' = 89^\circ 60' - 27^\circ 36' = 62^\circ 24'

Visina $h_c$ deli pravougli trougao na dva manja pravougla trougla. Posmatrajmo trougao koji čine kateta $b ,$ visina $h_c$ i odsečak hipotenuze uz teme $A .$ U tom trouglu, ugao kod temena $A$ je $\alpha ,$ naspramna kateta je $h_c ,$ a hipotenuza je $b .$

\sin \alpha = \frac{h_c}{b} \implies b = \frac{h_c}{\sin \alpha}

Zamenom datih vrednosti računamo katetu $b .$

b = \frac{5,4}{\sin 27^\circ 36'} \approx \frac{5,4}{0,4633} \approx 11,66 \, \text{cm}

Slično, posmatrajmo drugi mali pravougli trougao koji čine kateta $a ,$ visina $h_c$ i odsečak hipotenuze uz teme $B .$ Ugao kod temena $B$ je $\beta ,$ naspramna kateta je $h_c ,$ a hipotenuza je $a .$

\sin \beta = \frac{h_c}{a} \implies a = \frac{h_c}{\sin \beta}

Kako je $\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha ,$ formulu možemo zapisati i preko ugla $\alpha .$

a = \frac{h_c}{\cos \alpha}

Zamenom datih vrednosti računamo katetu $a .$

a = \frac{5,4}{\cos 27^\circ 36'} \approx \frac{5,4}{0,8862} \approx 6,09 \, \text{cm}

Hipotenuzu $c$ možemo izračunati koristeći definiciju sinusa u velikom pravouglom trouglu, $\sin \alpha = \frac{a}{c} ,$ odakle sledi $c = \frac{a}{\sin \alpha} .$ Zamenom izraza za $a$ dobijamo direktnu formulu.

c = \frac{h_c}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}

Zamenom datih vrednosti računamo hipotenuzu $c .$

c = \frac{5,4}{\sin 27^\circ 36' \cdot \cos 27^\circ 36'} \approx \frac{5,4}{0,4633 \cdot 0,8862} \approx \frac{5,4}{0,4106} \approx 13,15 \, \text{cm}

937