4520. Rešavanje pravouglog trougla

Zbir uglova u trouglu je $180^\circ .$ Pošto je trougao jednakokraki, uglovi na osnovici su jednaki ( $\alpha = \beta$ ). Uglove na osnovici računamo po formuli:

\alpha = \beta = \frac{180^\circ - \gamma}{2}

Zamenjujemo poznatu vrednost ugla $\gamma$ i računamo $\alpha .$ Stepeni se oduzimaju tako što se jedan stepen pretvori u $60' :$

\alpha = \frac{179^\circ 60' - 38^\circ 32'}{2} = \frac{141^\circ 28'}{2} = 70^\circ 44'

Visina koja odgovara osnovici ( $h_c$ ) deli jednakokraki trougao na dva podudarna pravougla trougla. U tom pravouglom trouglu, hipotenuza je krak $a ,$ jedna kateta je polovina osnovice $\frac{c}{2} ,$ a druga kateta je visina $h_c .$ Ugao naspram katete $\frac{c}{2}$ je polovina ugla pri vrhu $\frac{\gamma}{2} .$

\frac{\gamma}{2} = \frac{38^\circ 32'}{2} = 19^\circ 16'

Računamo polovinu osnovice $c :$

\frac{c}{2} = \frac{1980}{2} = 990 \, \text{cm}

Koristeći definiciju sinusa u pravouglom trouglu (odnos naspramne katete i hipotenuze), izražavamo krak $a :$

\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \frac{\frac{c}{2}}{a} \implies a = \frac{\frac{c}{2}}{\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)}

Zamenjujemo poznate vrednosti da bismo dobili tačnu dužinu kraka $a :$

a = \frac{990}{\sin(19^\circ 16')}

Koristeći definiciju kotangensa (odnos nalegle i naspramne katete), izražavamo visinu $h_c :$

\text{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \frac{h_c}{\frac{c}{2}} \implies h_c = \frac{c}{2} \cdot \text{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)

Zamenjujemo poznate vrednosti da bismo dobili tačnu visinu $h_c :$

h_c = 990 \cdot \text{ctg}(19^\circ 16')

Na kraju, računamo površinu trougla $P$ koristeći osnovicu i odgovarajuću visinu:

P = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{1980 \cdot 990 \cdot \text{ctg}(19^\circ 16')}{2} = 980100 \cdot \text{ctg}(19^\circ 16') \, \text{cm}^2

941