TEKST ZADATKA
Stranica pravilnog osmougla je a = 1 , 5. a = 1,5 . a = 1 , 5. Odrediti centralni ugao α , \alpha , α , poluprečnik kruga R R R opisanog oko osmougla, poluprečnik r r r upisanog kruga i površinu osmougla.
REŠENJE ZADATKA
Centralni ugao pravilnog mnogougla sa n n n stranica računamo po formuli α = 360 ∘ n . \alpha = \frac{360^\circ}{n} . α = n 36 0 ∘ . Za osmougao ( n = 8 n = 8 n = 8 ) imamo:
α = 360 ∘ 8 = 45 ∘ \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ α = 8 36 0 ∘ = 4 5 ∘ Posmatrajmo karakteristični trougao O A B OAB O A B pravilnog osmougla, gde je O O O centar, a A A A i B B B su susedna temena. Znamo da je A B = a = 1 , 5 , AB = a = 1,5 , A B = a = 1 , 5 , O A = O B = R OA = OB = R O A = OB = R (poluprečnik opisanog kruga) i ∠ A O B = α = 45 ∘ . \angle AOB = \alpha = 45^\circ . ∠ A OB = α = 4 5 ∘ . Neka je A H AH A H visina iz temena A A A na stranicu O B . OB . OB .
U pravouglom trouglu A H O , AHO , A H O , ugao kod temena O O O je 45 ∘ . 45^\circ . 4 5 ∘ . Primenom trigonometrijskih funkcija računamo dužine kateta A H AH A H i O H : OH : O H :
sin 45 ∘ = A H O A ⟹ A H = R sin 45 ∘ = R 2 2 cos 45 ∘ = O H O A ⟹ O H = R cos 45 ∘ = R 2 2 \begin{aligned} \sin 45^\circ &= \frac{AH}{OA} \implies AH = R \sin 45^\circ = R \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos 45^\circ &= \frac{OH}{OA} \implies OH = R \cos 45^\circ = R \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} sin 4 5 ∘ cos 4 5 ∘ = O A A H ⟹ A H = R sin 4 5 ∘ = R 2 2 = O A O H ⟹ O H = R cos 4 5 ∘ = R 2 2 Dužina odsečka H B HB H B jednaka je razlici dužina O B OB OB i O H : OH : O H :
H B = O B − O H = R − R 2 2 = R ( 1 − 2 2 ) = R 2 − 2 2 HB = OB - OH = R - R \frac{\sqrt{2}}{2} = R \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = R \frac{2 - \sqrt{2}}{2} H B = OB − O H = R − R 2 2 = R ( 1 − 2 2 ) = R 2 2 − 2 U pravouglom trouglu A H B , AHB , A H B , primenjujemo Pitagorinu teoremu:
A H 2 + H B 2 = A B 2 ( R 2 2 ) 2 + ( R 2 − 2 2 ) 2 = a 2 \begin{aligned} AH^2 + HB^2 &= AB^2 \\ \left(R \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(R \frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)^2 &= a^2 \end{aligned} A H 2 + H B 2 ( R 2 2 ) 2 + ( R 2 2 − 2 ) 2 = A B 2 = a 2 Kvadriramo i sređujemo izraz kako bismo izrazili R 2 : R^2 : R 2 :
R 2 2 4 + R 2 4 − 4 2 + 2 4 = a 2 R 2 2 + 6 − 4 2 4 = a 2 R 2 8 − 4 2 4 = a 2 R 2 ( 2 − 2 ) = a 2 \begin{aligned} R^2 \frac{2}{4} + R^2 \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4} &= a^2 \\ R^2 \frac{2 + 6 - 4\sqrt{2}}{4} &= a^2 \\ R^2 \frac{8 - 4\sqrt{2}}{4} &= a^2 \\ R^2 (2 - \sqrt{2}) &= a^2 \end{aligned} R 2 4 2 + R 2 4 4 − 4 2 + 2 R 2 4 2 + 6 − 4 2 R 2 4 8 − 4 2 R 2 ( 2 − 2 ) = a 2 = a 2 = a 2 = a 2 Rešavamo po R 2 R^2 R 2 i racionališemo imenilac:
R 2 = a 2 2 − 2 = a 2 ( 2 + 2 ) ( 2 − 2 ) ( 2 + 2 ) = a 2 ( 2 + 2 ) 4 − 2 = a 2 ( 2 + 2 ) 2 R^2 = \frac{a^2}{2 - \sqrt{2}} = \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{2} R 2 = 2 − 2 a 2 = ( 2 − 2 ) ( 2 + 2 ) a 2 ( 2 + 2 ) = 4 − 2 a 2 ( 2 + 2 ) = 2 a 2 ( 2 + 2 ) Nalazimo poluprečnik opisanog kruga R : R : R :
R = a 2 + 2 2 = a 4 + 2 2 2 R = \frac{a\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2} R = 2 a 2 + 2 = 2 a 4 + 2 2 Zamenom a = 1 , 5 = 3 2 a = 1,5 = \frac{3}{2} a = 1 , 5 = 2 3 dobijamo konačnu vrednost za R : R : R :
R = 3 2 4 + 2 2 2 = 3 4 + 2 2 4 R = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2} = \frac{3\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{4} R = 2 2 3 4 + 2 2 = 4 3 4 + 2 2 Površina karakterističnog trougla O A B OAB O A B može se izračunati preko osnovice O B OB OB i visine A H : AH : A H :
P O A B = 1 2 ⋅ O B ⋅ A H = 1 2 ⋅ R ⋅ R 2 2 = R 2 2 4 P_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^2 \sqrt{2}}{4} P O A B = 2 1 ⋅ OB ⋅ A H = 2 1 ⋅ R ⋅ R 2 2 = 4 R 2 2 Zamenjujemo dobijeni izraz za R 2 R^2 R 2 u formulu za površinu trougla:
P O A B = 2 4 ⋅ a 2 ( 2 + 2 ) 2 = a 2 ( 2 2 + 2 ) 8 = a 2 ( 2 + 1 ) 4 P_{OAB} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a^2(2 + \sqrt{2})}{2} = \frac{a^2(2\sqrt{2} + 2)}{8} = \frac{a^2(\sqrt{2} + 1)}{4} P O A B = 4 2 ⋅ 2 a 2 ( 2 + 2 ) = 8 a 2 ( 2 2 + 2 ) = 4 a 2 ( 2 + 1 ) Površina pravilnog osmougla je osam puta veća od površine karakterističnog trougla:
P = 8 ⋅ P O A B = 8 ⋅ a 2 ( 2 + 1 ) 4 = 2 a 2 ( 2 + 1 ) P = 8 \cdot P_{OAB} = 8 \cdot \frac{a^2(\sqrt{2} + 1)}{4} = 2a^2(\sqrt{2} + 1) P = 8 ⋅ P O A B = 8 ⋅ 4 a 2 ( 2 + 1 ) = 2 a 2 ( 2 + 1 ) Zamenom a = 3 2 a = \frac{3}{2} a = 2 3 dobijamo površinu osmougla:
P = 2 ( 3 2 ) 2 ( 2 + 1 ) = 2 ⋅ 9 4 ( 2 + 1 ) = 9 2 ( 2 + 1 ) P = 2 \left(\frac{3}{2}\right)^2 (\sqrt{2} + 1) = 2 \cdot \frac{9}{4} (\sqrt{2} + 1) = \frac{9}{2}(\sqrt{2} + 1) P = 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 + 1 ) = 2 ⋅ 4 9 ( 2 + 1 ) = 2 9 ( 2 + 1 ) Poluprečnik upisanog kruga r r r predstavlja visinu karakterističnog trougla O A B OAB O A B koja odgovara stranici A B . AB . A B . Površinu trougla O A B OAB O A B možemo izraziti i kao:
P O A B = 1 2 ⋅ A B ⋅ r = 1 2 a r P_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} a r P O A B = 2 1 ⋅ A B ⋅ r = 2 1 a r Izjednačavanjem dve formule za površinu trougla nalazimo r : r : r :
1 2 a r = a 2 ( 2 + 1 ) 4 r = a ( 2 + 1 ) 2 \begin{aligned} \frac{1}{2} a r &= \frac{a^2(\sqrt{2} + 1)}{4} \\ r &= \frac{a(\sqrt{2} + 1)}{2} \end{aligned} 2 1 a r r = 4 a 2 ( 2 + 1 ) = 2 a ( 2 + 1 ) Zamenom a = 3 2 a = \frac{3}{2} a = 2 3 dobijamo konačnu vrednost za r : r : r :
r = 3 2 ( 2 + 1 ) 2 = 3 ( 2 + 1 ) 4 r = \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{2} + 1)}{2} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{4} r = 2 2 3 ( 2 + 1 ) = 4 3 ( 2 + 1 )