4527. Rešavanje pravouglog trougla

REŠENJE ZADATKA

Pravilan $n$ -tougao se sastoji od $n$ podudarnih jednakokrakih trouglova čiji je zajednički vrh u centru upisanog kruga. Visina tog trougla koja odgovara osnovici $a$ jednaka je poluprečniku upisanog kruga $r .$

Centralni ugao pravilnog $n$ -ugla iznosi:

\alpha_c = \frac{360^\circ}{n}

Visina $r$ deli karakteristični jednakokraki trougao na dva podudarna pravougla trougla. Ugao naspram polovine stranice $\frac{a}{2}$ je polovina centralnog ugla:

\frac{\alpha_c}{2} = \frac{180^\circ}{n}

Primenom definicije tangensa na taj pravougli trougao dobijamo odnos naspramne i nalegle katete:

\text{tg}\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{\frac{a}{2}}{r}

Množenjem jednačine sa $r$ i izražavanjem dužine stranice $a$ dobijamo:

a = 2r \cdot \text{tg}\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

Površina jednog karakterističnog trougla jednaka je polovini proizvoda osnovice i visine:

P_1 = \frac{a \cdot r}{2}

Ukupna površina pravilnog $n$ -ugla je zbir površina svih $n$ trouglova:

P = n \cdot P_1 = n \cdot \frac{a \cdot r}{2}

Zamenom izraza za stranicu $a$ u formulu za površinu dobijamo:

P = \frac{n}{2} \cdot 2r \cdot \text{tg}\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \cdot r

Sređivanjem izraza dobijamo konačnu formulu za površinu:

P = n r^2 \text{tg}\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

946