4526. Rešavanje pravouglog trougla

REŠENJE ZADATKA

Neka je data skica na kojoj je prikazan pravilan $n$ -tougao upisan u krug. On se sastoji od $n$ podudarnih jednakokrakih trouglova čiji je zajednički vrh u centru opisanog kruga. Posmatrajmo jedan takav karakteristični trougao.

Centralni ugao koji odgovara jednoj stranici pravilnog $n$ -tougla iznosi:

\varphi = \frac{360^\circ}{n}

Visina ovog trougla (apotema $h$ ) deli centralni ugao na dva jednaka dela, pa je polovina centralnog ugla:

\frac{\varphi}{2} = \frac{180^\circ}{n}

Apotema takođe deli osnovicu trougla (stranicu $a$ ) na dva jednaka dela. Uočavamo pravougli trougao čija je hipotenuza poluprečnik $R ,$ a katete su $\frac{a}{2}$ i $h .$

Primenom definicije sinusne funkcije za oštar ugao $\frac{\varphi}{2}$ u ovom pravouglom trouglu, dobijamo:

\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{\frac{a}{2}}{R}

Množenjem sa $R$ i izražavanjem stranice $a ,$ računamo dužinu stranice $n$ -tougla:

a = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

Primenom definicije kosinusne funkcije za isti ugao, dobijamo relaciju za visinu $h :$

\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{h}{R}

Odatle izražavamo visinu $h :$

h = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

Površina jednog karakterističnog trougla ( $P_1$ ) jednaka je polovini proizvoda osnovice i odgovarajuće visine:

P_1 = \frac{1}{2} a \cdot h

Zamenom dobijenih izraza za $a$ i $h$ u formulu za površinu trougla:

P_1 = \frac{1}{2} \left(2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\right) \cdot \left(R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\right)

Sređivanjem ovog izraza dobijamo površinu jednog trougla:

P_1 = R^2 \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

Ukupna površina pravilnog $n$ -tougla jednaka je zbiru površina svih $n$ karakterističnih trouglova:

P = n \cdot P_1

Konačna formula za površinu pravilnog $n$ -tougla je:

P = n R^2 \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

945