4531. Rešavanje pravouglog trougla

Neka je $a$ stranica romba, a $h$ njegova visina. Površina romba se računa po formuli:

P = a \cdot h

Ako nacrtamo skicu i posmatramo pravougli trougao koji čine visina $h ,$ stranica $a$ i oštar ugao $\alpha ,$ možemo primeniti definiciju sinusa:

\sin \alpha = \frac{h}{a}

Izražavamo visinu $h$ preko stranice $a$ i ugla $\alpha :$

h = a \sin \alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz za visinu u formulu za površinu:

P = a \cdot (a \sin \alpha) = a^2 \sin \alpha

Iz ove jednačine izražavamo kvadrat stranice $a :$

a^2 = \frac{P}{\sin \alpha}

Pošto je dužina stranice uvek pozitivna, korenujemo izraz da bismo dobili stranicu $a :$

a = \sqrt{\frac{P}{\sin \alpha}}

Sada računamo visinu $h$ zamenom dobijenog izraza za $a$ u formulu $h = a \sin \alpha :$

h = \sqrt{\frac{P}{\sin \alpha}} \cdot \sin \alpha

Sređujemo izraz za visinu unošenjem $\sin \alpha$ pod koren:

h = \sqrt{\frac{P}{\sin \alpha} \cdot \sin^2 \alpha} = \sqrt{P \sin \alpha}

943