4640. Trougao | Balkan Tutor

Svi uglovi jednakostraničnog trougla imaju po $60^\circ .$ Stranice kvadrata su jednake i susedne stranice su normalne, pa važi $AB=BK ,$ $BC=BN ,$ a uglovi kvadrata kod temena $B$ su pravi. Kako je i $AB=BC ,$ dobijamo $BC=BK=BN .$

\angle ABC=60^\circ,\qquad BC=BK=BN

Ugao $CBK$ sastoji se od ugla $CBA=60^\circ$ i pravog ugla $ABK .$ Trougao $BCK$ je jednakokrak jer je $BC=BK ,$ pa su njegova dva ugla na osnovici jednaka.

\angle CBK=60^\circ+90^\circ=150^\circ,\qquad \angle BCK=\angle CKB=\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ

U trouglu $BCN$ važi $BC=BN ,$ a ugao $CBN$ je pravi ugao kvadrata. Zato su uglovi kod $C$ i $N$ jednaki i imaju po $45^\circ .$

\angle BCN=\angle CNB=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ

Oko tačke $B$ redom se nalaze pravi ugao $KBA ,$ ugao $ABC=60^\circ ,$ pravi ugao $CBN$ i ugao $NBK .$ Njihov zbir je pun ugao. Trougao $BKN$ je jednakokrak jer je $BK=BN ,$ pa su njegovi uglovi kod $K$ i $N$ jednaki.

\angle NBK=360^\circ-90^\circ-60^\circ-90^\circ=120^\circ,\qquad \angle BKN=\angle KNB=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ

U trouglu $CKN ,$ ugao kod $C$ je zbir uglova $KCB$ i $BCN ,$ a ugao kod $K$ zbir uglova $CKB$ i $BKN .$

\angle KCN=15^\circ+45^\circ=60^\circ,\qquad \angle CKN=15^\circ+30^\circ=45^\circ

Zbirom uglova trougla $CKN$ dobijamo traženu meru.

\angle CNK=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ

401