PrethodniSledeći
4643.

410

TEKST ZADATKA

Visina koja odgovara kraku obrazuje sa drugim krakom jednakokrakog trougla ugao φ. \varphi . Preko φ \varphi izraziti sve spoljašnje i unutrašnje uglove trougla.

REŠENJE ZADATKA

Neka je ABC ABC jednakokraki trougao sa osnovicom AB, AB , jednakim kracima AC=BC AC=BC i vršnim uglom γ=∠ACB. \gamma=\angle ACB . Neka je AD AD visina koja odgovara kraku BC. BC . Ugao između te visine i drugog kraka AC AC jednak je φ. \varphi .

AC=BC,AD⊥BC,∠(AD,AC)=φAC=BC,\qquad AD\perp BC,\qquad \angle(AD,AC)=\varphi

Ako je vršni ugao oštar, podnožje D D je na kraku BC. BC . U pravouglom trouglu ACD ACD uglovi kod A A i C C imaju zbir 90∘, 90^\circ , pa je φ=90∘−γ. \varphi=90^\circ-\gamma . Zato je u ovom slučaju γ=90∘−φ. \gamma=90^\circ-\varphi . Za φ=0∘ \varphi=0^\circ dobijamo granični, ali pravilan slučaj γ=90∘: \gamma=90^\circ : visina AD AD poklapa se sa krakom AC, AC , a D=C. D=C .

0∘<γ<90∘⟹γ=90∘−φ;φ=0∘⟹γ=90∘0^\circ<\gamma<90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=90^\circ-\varphi;\qquad \varphi=0^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=90^\circ

Ako je vršni ugao tup, podnožje D D je na produžetku kraka preko temena C. C . Tada je ugao pravouglog trougla ACD ACD kod C C suplementan uglu γ, \gamma , odnosno jednak je 180∘−γ. 180^\circ-\gamma . Zato je φ=90∘−(180∘−γ)=γ−90∘. \varphi=90^\circ-(180^\circ-\gamma)=\gamma-90^\circ .

90∘<γ<180∘⟹γ=90∘+φ90^\circ<\gamma<180^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=90^\circ+\varphi

U oštrom slučaju vršni ugao je 90∘−φ. 90^\circ-\varphi . Dva jednaka osnovna ugla dobijamo iz zbira unutrašnjih uglova. Spoljašnji uglovi su suplementni odgovarajućim unutrašnjim uglovima.

∠C=90∘−φ,∠A=∠B=45∘+φ2;∠Csp=90∘+φ,∠Asp=∠Bsp=135∘−φ2\angle C=90^\circ-\varphi,\quad \angle A=\angle B=45^\circ+\frac{\varphi}{2};\qquad \angle C_{\mathrm{sp}}=90^\circ+\varphi,\quad \angle A_{\mathrm{sp}}=\angle B_{\mathrm{sp}}=135^\circ-\frac{\varphi}{2}

U tupom slučaju vršni ugao je 90∘+φ. 90^\circ+\varphi . Na isti način dobijamo osnovne i sva tri spoljašnja ugla.

∠C=90∘+φ,∠A=∠B=45∘−φ2;∠Csp=90∘−φ,∠Asp=∠Bsp=135∘+φ2\angle C=90^\circ+\varphi,\quad \angle A=\angle B=45^\circ-\frac{\varphi}{2};\qquad \angle C_{\mathrm{sp}}=90^\circ-\varphi,\quad \angle A_{\mathrm{sp}}=\angle B_{\mathrm{sp}}=135^\circ+\frac{\varphi}{2}

Konačni domen je 0∘≤φ<90∘. 0^\circ\leq\varphi<90^\circ . Za 0∘<φ<90∘ 0^\circ<\varphi<90^\circ postoje dve mogućnosti, γ=90∘−φ \gamma=90^\circ-\varphi i γ=90∘+φ \gamma=90^\circ+\varphi ; za φ=0∘ \varphi=0^\circ te dve grane se spajaju i obe daju jedinstveno γ=90∘. \gamma=90^\circ . Gornja granica nije dozvoljena jer bi jedan unutrašnji ugao trougla bio nula. U svim slučajevima zbir spoljašnjih uglova je 360∘. 360^\circ .

0∘≤φ<90∘,γ∈{90∘−φ, 90∘+φ},φ=0∘⟹γ=90∘\boxed{0^\circ\leq\varphi<90^\circ},\qquad \gamma\in\left\{90^\circ-\varphi,\,90^\circ+\varphi\right\},\qquad \varphi=0^\circ\Longrightarrow\gamma=90^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak