4656. Trougao | Balkan Tutor

Neka je $ABC$ pravougli trougao sa pravim uglom kod $C$ i uglom od $30^\circ$ kod $A .$ Tada je kateta naspram ugla od $30^\circ$ duž $BC ,$ a hipotenuza je $AB .$ Treba dokazati $BC=\frac12AB .$

\angle ACB=90^\circ,\qquad \angle BAC=30^\circ

Iz zbira unutrašnjih uglova trougla sledi da je treći ugao jednak $60^\circ .$

\angle ABC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ

Na produžetku prave $BC$ preko tačke $C$ izaberimo tačku $D$ tako da je $CD=CB .$ Tada je $C$ središte duži $BD .$ Trouglovi $ACB$ i $ACD$ imaju jednake stranice $CB=CD ,$ zajedničku stranicu $AC$ i jednake zahvaćene prave uglove, pa su podudarni po stavu SUS.

CD=CB,\qquad \angle ACB=\angle ACD=90^\circ,\qquad AC=AC\quad\Longrightarrow\quad \triangle ACB\cong\triangle ACD

Iz podudarnosti dobijamo $AB=AD$ i $\angle CAD=\angle CAB=30^\circ .$ Zato je ceo ugao $BAD$ jednak zbiru dva ugla od po $30^\circ .$

AB=AD,\qquad \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ

Trougao $ABD$ je jednakokrak jer je $AB=AD ,$ pa su uglovi naspram tih stranica jednaki: $\angle ABD=\angle BDA .$ Njihov zbir je $180^\circ-60^\circ=120^\circ ,$ te je svaki jednak $60^\circ .$ Sva tri ugla trougla $ABD$ su, dakle, jednaka, pa su jednake i sve tri naspramne stranice; trougao je jednakostraničan.

\angle ABD=\angle BDA=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ,\qquad AB=BD

Po konstrukciji su $B,C,D$ kolinearne tačke, pri čemu je $C$ između $B$ i $D ,$ i važi $BC=CD .$ Zato je $BD=BC+CD=2BC .$ Kako je istovremeno $BD=AB ,$ sledi tražena veza katete i hipotenuze.

AB=BD=BC+CD=2BC\quad\Longrightarrow\quad\boxed{BC=\frac{AB}{2}}

409