4654. Trougao | Balkan Tutor

Neka je $ABC$ jednakokraki trougao sa osnovicom $AB ,$ kracima $AC=BC$ i vršnim uglom $\angle ACB=\gamma .$ Neka je $AD$ visina koja odgovara kraku $BC .$ Traženi ugao između $AD$ i drugog kraka $AC$ označimo sa $\varphi .$

AC=BC,\qquad AD\perp BC,\qquad \varphi=\angle(AD,AC)

Ako je $0^\circ<\gamma<90^\circ ,$ podnožje $D$ pripada kraku $BC .$ Trougao $ACD$ je pravougli, pa se njegova dva oštra ugla dopunjuju do $90^\circ .$ Ugao kod $C$ jednak je vršnom uglu $\gamma .$

0^\circ<\gamma<90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \varphi=90^\circ-\gamma

Ako je $90^\circ<\gamma<180^\circ ,$ podnožje $D$ nalazi se na produžetku kraka preko temena $C .$ Ugao trougla $ACD$ kod $C$ tada je $180^\circ-\gamma .$ Iz zbira uglova tog pravouglog trougla dobijamo drugu mogućnost.

90^\circ<\gamma<180^\circ\quad\Longrightarrow\quad \varphi=90^\circ-(180^\circ-\gamma)=\gamma-90^\circ

Oba slučaja mogu se zapisati jednom formulom. Za pravi vršni ugao visina se poklapa sa drugim krakom, pa je traženi ugao $0^\circ .$

\boxed{\varphi=|90^\circ-\gamma|},\qquad 0^\circ<\gamma<180^\circ

Radi potpunog opisa parametarskog trougla, osnovni uglovi su jednaki i dobijaju se iz zbira unutrašnjih uglova. Odgovarajući spoljašnji uglovi su njihovi suplementi.

\angle C=\gamma,\quad \angle A=\angle B=90^\circ-\frac{\gamma}{2};\qquad \angle C_{\mathrm{sp}}=180^\circ-\gamma,\quad \angle A_{\mathrm{sp}}=\angle B_{\mathrm{sp}}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}

Opseg $0^\circ<\gamma<180^\circ$ tačno obezbeđuje da su vršni i oba osnovna ugla pozitivni. Spoljašnji uglovi u prethodnom koraku tada imaju zbir $360^\circ .$

2\left(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\right)+(180^\circ-\gamma)=360^\circ

411.a