PrethodniSledeći
4644.

419

TEKST ZADATKA

Na hipotenuzi AB AB pravouglog trougla ABC ABC određene su tačke P P i Q Q tako da je AP=AC AP = AC i BQ=BC. BQ = BC . Izračunati meru ugla PCQ. PCQ .

REŠENJE ZADATKA

Označimo oštre uglove pravouglog trougla kod A A i B B sa α \alpha i β. \beta . Kako je pravi ugao kod C, C , njihov zbir je pravi ugao.

α=∠CAB,β=∠ABC,α+β=90∘\alpha=\angle CAB, \quad \beta=\angle ABC, \quad \alpha+\beta=90^\circ

Iz AP=AC AP=AC sledi da je △APC \triangle APC jednakokrak sa vršnim uglom α \alpha kod A. A . Njegovi uglovi na osnovici su jednaki, pa svaki iznosi polovinu preostalog ugla.

∠ACP=∠APC=180∘−α2=90∘−α2\angle ACP=\angle APC=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}

Pošto zrak CP CP leži unutar pravog ugla ACB, ACB , njegov ugao sa krakom CB CB je dopuna prethodno dobijenog ugla do 90∘. 90^\circ .

∠PCB=90∘−∠ACP=α2\angle PCB=90^\circ-\angle ACP=\frac{\alpha}{2}

Slično, iz BQ=BC BQ=BC sledi da je △BCQ \triangle BCQ jednakokrak sa vršnim uglom β \beta kod B. B . Zato računamo ugao uz osnovicu kod C, C , a zatim njegovu dopunu unutar pravog ugla ACB. ACB .

∠BCQ=90∘−β2,∠ACQ=90∘−∠BCQ=β2\angle BCQ=90^\circ-\frac{\beta}{2}, \qquad \angle ACQ=90^\circ-\angle BCQ=\frac{\beta}{2}

Unutar ugla ACB ACB zraci se javljaju redom CA,CQ,CP,CB: CA,CQ,CP,CB : od CA CA do CQ CQ ima β2, \frac{\beta}{2} , a od CA CA do CP CP ima 90∘−α2=45∘+β2. 90^\circ-\frac{\alpha}{2}=45^\circ+\frac{\beta}{2} . Preostali ugao između CP CP i CQ CQ zato je nezavisan od oblika pravouglog trougla.

∠PCQ=90∘−∠PCB−∠ACQ=90∘−α+β2=45∘\angle PCQ=90^\circ-\angle PCB-\angle ACQ=90^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=45^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak