PrethodniSledeći
4645.

418

TEKST ZADATKA

Neka je H H ortocentar trougla ABC. ABC . Ako je ∠BCA=76∘, \angle BCA = 76^\circ , odrediti meru ugla AHB. AHB .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je H H ortocentar, prave AH AH i BH BH su visine trougla. Zato su one normalne redom na BC BC i AC. AC .

AH⊥BC,BH⊥ACAH \perp BC, \qquad BH \perp AC

Ako je trougao oštrougli, ortocentar je unutra. Označimo uglove kod A A i B B sa α \alpha i β. \beta . Iz pravih uglova koje visine grade sa naspramnim stranicama dobijamo uglove trougla ABH ABH kod A A i B. B .

∠HAB=90∘−β,∠ABH=90∘−α\angle HAB=90^\circ-\beta, \qquad \angle ABH=90^\circ-\alpha

Zbirom uglova trougla ABH, ABH , a zatim zbirom uglova trougla ABC, ABC , računamo traženi ugao u ovoj, standardno zamišljenoj konfiguraciji.

∠AHB=180∘−(90∘−β)−(90∘−α)=α+β=180∘−76∘=104∘\angle AHB=180^\circ-(90^\circ-\beta)-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta=180^\circ-76^\circ=104^\circ

Tekst, međutim, ne kaže da je trougao oštrougli. Ako je, na primer, α>90∘, \alpha>90^\circ , ortocentar je izvan trougla, a unutrašnji uglovi trougla ABH ABH kod A A i B B iznose 90∘+β 90^\circ+\beta i α−90∘. \alpha-90^\circ . Tada običan ugao AHB AHB ima drugu meru; isto važi simetrično kada je β>90∘. \beta>90^\circ .

∠AHB=180∘−(90∘+β)−(α−90∘)=180∘−α−β=76∘\angle AHB=180^\circ-(90^\circ+\beta)-(\alpha-90^\circ)=180^\circ-\alpha-\beta=76^\circ

Zato je očekivani odgovor 104∘ 104^\circ samo uz prećutnu pretpostavku da je trougao oštrougli. Ako je ugao kod A A ili B B tup, odgovor je 76∘ 76^\circ ; ako je neki od njih pravi, H H se poklapa sa temenom i ugao AHB AHB nije nedegenerisano definisan.

∠AHB=104∘ za osˇtrougli △ABC\boxed{\angle AHB=104^\circ\text{ za oštrougli }\triangle ABC}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak