PrethodniSledeći
4655.

420

TEKST ZADATKA

Tačka M M pripada stranici AB AB trougla ABC ABC i važi AC=MC. AC = MC . Ako je razlika uglova CAB CAB i ABC ABC jednaka 23∘, 23^\circ , izračunati meru ugla BCM. BCM .

REŠENJE ZADATKA

Najpre moramo izdvojiti doslovno dopušten krajnji slučaj M=A. M=A . Tada je uslov AC=MC AC=MC automatski ispunjen, jer je MC=AC, MC=AC , dok je ∠BCM=∠BCA. \angle BCM=\angle BCA . Iz podatka ∠CAB−∠ABC=23∘ \angle CAB-\angle ABC=23^\circ mera ugla kod C C nije jednoznačno određena: ako stavimo ∠CAB=α \angle CAB=\alpha i ∠ABC=β, \angle ABC=\beta , znamo samo α−β=23∘, \alpha-\beta=23^\circ , pa ugao kod C C zavisi od β. \beta .

M=A:∠BCM=∠BCA=180∘−α−β=157∘−2βM=A:\qquad \angle BCM=\angle BCA=180^\circ-\alpha-\beta=157^\circ-2\beta

Prema tome, zadatak kako je doslovno napisan ima izuzetak i za M=A M=A rezultat je neodređen. U uobičajenoj udžbeničkoj interpretaciji podrazumeva se netrivijalna unutrašnja tačka M M stranice AB, AB , odnosno M∈(A,B). M\in(A,B) . U nastavku rešavamo upravo taj nameravani slučaj. Označimo uglove kod A A i B B ; pošto je M M između A A i B, B , poluprave AM AM i AB, AB , kao i BM BM i BA, BA , poklapaju se.

∠CAB=α,∠ABC=β,α−β=23∘\angle CAB=\alpha,\qquad \angle ABC=\beta,\qquad \alpha-\beta=23^\circ

Trougao ACM ACM je jednakokrak jer je AC=MC. AC=MC . Njegova osnovica je AM, AM , pa su uglovi uz osnovicu jednaki. Kako je ∠CAM=∠CAB=α, \angle CAM=\angle CAB=\alpha , sledi da je i ugao kod M M jednak α. \alpha .

AC=MC⟹∠CAM=∠AMC=αAC=MC\quad\Longrightarrow\quad \angle CAM=\angle AMC=\alpha

Pošto je M M unutrašnja tačka duži AB, AB , poluprave MA MA i MB MB su suprotne. Zato su uglovi AMC AMC i BMC BMC suplementni. Takođe je ∠CBM=∠CBA=β. \angle CBM=\angle CBA=\beta .

∠BMC=180∘−∠AMC=180∘−α,∠CBM=β\angle BMC=180^\circ-\angle AMC=180^\circ-\alpha,\qquad \angle CBM=\beta

Primenimo zbir uglova u trouglu BMC. BMC . Traženi ugao jednak je razlici početnih uglova, koja je po uslovu 23∘. 23^\circ . Dakle, odgovor 23∘ 23^\circ važi pod nameravanom udžbeničkom konvencijom da je M M netrivijalna unutrašnja tačka stranice; bez te konvencije slučaj M=A M=A ostavlja odgovor neodređenim.

∠BCM=180∘−β−(180∘−α)=α−β=23∘\angle BCM=180^\circ-\beta-(180^\circ-\alpha)=\alpha-\beta=\boxed{23^\circ}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak