PrethodniSledeći
4647.

416

TEKST ZADATKA

U trouglu ABC ABC simetrale unutrašnjeg ugla kod temena B B i spoljašnjeg ugla kod temena C C seku se u tački E. E . Ako je ∠CAB=46∘, \angle CAB = 46^\circ , izračunati meru ugla BEC. BEC .

REŠENJE ZADATKA

Označimo unutrašnje uglove kod B B i C C sa β \beta i γ. \gamma . Iz zbira uglova trougla sledi njihova veza sa zadatim uglom kod A. A .

β+γ=180∘−46∘=134∘\beta+\gamma=180^\circ-46^\circ=134^\circ

Pošto BE BE deli unutrašnji ugao kod B B na dva jednaka dela, ugao trougla BCE BCE kod B B jednak je polovini ugla β. \beta .

∠CBE=β2\angle CBE=\frac{\beta}{2}

Spoljašnji ugao kod C C ima meru 180∘−γ, 180^\circ-\gamma , pa njegova simetrala obrazuje ugao 90∘−γ2 90^\circ-\frac{\gamma}{2} sa produžetkom stranice BC. BC . Ugao trougla BCE BCE kod C C koristi suprotnu polupravu CB, CB , zato je suplementan tom uglu.

∠BCE=180∘−(90∘−γ2)=90∘+γ2\angle BCE=180^\circ-\left(90^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)=90^\circ+\frac{\gamma}{2}

Primenimo zbir unutrašnjih uglova na trougao BCE BCE i zatim upotrebimo β+γ=134∘. \beta+\gamma=134^\circ .

∠BEC=180∘−β2−(90∘+γ2)=90∘−β+γ2=90∘−67∘=23∘\angle BEC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\left(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\right)=90^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2}=90^\circ-67^\circ=23^\circ

Rezultat je jednak polovini ugla kod A. A . Numerička provera je 2⋅23∘=46∘, 2\cdot23^\circ=46^\circ , što potvrđuje dobijenu meru.

∠BEC=23∘=12∠CAB\boxed{\angle BEC=23^\circ=\frac12\angle CAB}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak